По слайдам Vo2. Здесь — пять предположений курса (AL, AR, AX, AH, AN), свойства OLS, теорема Гаусса–Маркова и тесты. Это самая «экзаменуемая» глава.
| Код | Название | Формально | Зачем |
|---|---|---|---|
| AL | Linearity | $Y=X\beta+\varepsilon$ | модель верно специфицирована |
| AR | Rank | $\operatorname{rank}(X)=K{+}1$ | $(X'X)^{-1}$ существует, нет полной мультиколлинеарности |
| AX | Strict exogeneity | $E[\varepsilon\mid X]=0$ | несмещённость; ошибка не связана с предикторами |
| AH | Homoskedasticity + uncorrelatedness | $\operatorname{Cov}(\varepsilon\mid X)=\sigma^2 I$ | простая формула дисперсии, эффективность |
| AN | Normality | $\varepsilon\mid X \sim N(0,\sigma^2 I)$ | точные $t$/$F$-распределения в малой выборке |
Это сильнейшее предположение. Нарушается при пропущенной переменной (§4), ошибке измерения регрессора, одновременности. Если нарушено — OLS смещён и несостоятелен. На графике «остатки vs предиктор» нарушение AX выдаёт систематический паттерн (тренд, изгиб) вокруг нуля.
Постоянная дисперсия + отсутствие автокорреляции. Нарушение постоянства — гетероскедастичность (тест Бройша–Пагана, Уайта, §4). Нарушение второго — автокорреляция (важно для временных рядов). При нарушении AH оценки $\hat\beta$ остаются несмещёнными, но стандартные ошибки неверны → t/F-тесты невалидны.
Несмещённость требует только AX (плюс AL, AR). Простая формула дисперсии $\sigma^2(X'X)^{-1}$ требует AH. Диагональ этой матрицы → квадраты стандартных ошибок коэффициентов.
Делим на степени свободы $N-K-1$, а не на $N$ (иначе смещение вниз). Корень $\hat\sigma$ — «Residual standard error» в выводе R. Отсюда $\widehat{\operatorname{se}}(\hat\beta_j)=\sqrt{\hat\sigma^2[(X'X)^{-1}]_{jj}}$.
OLS — Best Linear Unbiased Estimator: среди всех линейных по $Y$ несмещённых оценок имеет наименьшую дисперсию. Нормальность (AN) для этого не нужна. Если AH нарушено — GMM/GLS могут быть эффективнее (§4).
Высокая (но не полная) корреляция предикторов. $(X'X)^{-1}$ почти вырождена → большие стандартные ошибки, нестабильные $\hat\beta$, незначимые $t$ при высоком общем $R^2$/$F$. Диагностика — VIF. Не нарушает несмещённость, лечится сбором данных / удалением дублирующих переменных. Полная мультиколлинеарность нарушает AR — модель не оценивается.
$t$-статистика для $H_0:\beta_j=0$ — это столбец «t value» в R; «Pr(>|t|)» — p-value. Малый p (звёздочки) → отвергаем $H_0$, коэффициент значим. Без AN то же распределение держится асимптотически (CLT) при больших $N$.
Сравнивает ограниченную ($r$) и полную ($u$) модели; $q$ — число ограничений. Глобальный $F$ из R проверяет «все наклоны нулевые». Большой $F$ / малый p → модель в целом значима. Используется и для проверки группы дамми сразу (см. §3).