По слайдам Vo3. Доверительные/прогнозные интервалы и спецификация: лог-преобразования, дамми, взаимодействия, полиномы. Это прямой фундамент задач 1–3 мок-экзамена.
Если интервал не содержит 0 — коэффициент значим на уровне $\alpha$ (эквивалентно $t$-тесту). Ширина растёт со стандартной ошибкой (мультиколлинеарность, малое $N$).
«$1+$» — это дисперсия новой ошибки плюс неопределённость оценки $\hat\beta$. Интервал для среднего $E(y_0)$ — без единицы. Ширина растёт с удалением $x_0$ от центра данных — экстраполяция опасна.
| Форма | Модель | Интерпретация $\beta_1$ |
|---|---|---|
| level–level | $Y=\beta_0+\beta_1 X$ | $X{+}1 \Rightarrow Y$ на $\beta_1$ единиц |
| log–level (semi-log) | $\log Y=\beta_0+\beta_1 X$ | $X{+}1 \Rightarrow Y$ на $\approx 100\beta_1\%$ |
| level–log | $Y=\beta_0+\beta_1\log X$ | $X{+}1\% \Rightarrow Y$ на $\approx \beta_1/100$ единиц |
| log–log | $\log Y=\beta_0+\beta_1\log X$ | эластичность: $X{+}1\% \Rightarrow Y$ на $\beta_1\%$ |
В мок-экзамене модель log–level: $\log(price)=\beta_0+\beta_1\,size+\dots$. Значит $\hat\beta_1=0{,}0288 \Rightarrow$ +1 кв.фут площади увеличивает цену примерно на $2{,}88\%$ (точно: $e^{\beta_1}-1$).
Две параллельные линии с одинаковым наклоном $\beta_1$; $\beta_2$ — разница уровней (интерсептов), НЕ наклонов. Категориальная переменная с $m$ уровнями → $m-1$ дамми; пропущенный уровень — baseline (reference). Включить все $m$ → ловушка дамми (нарушение AR).
В лог-модели коэффициент дамми $\beta_2$ читается как процентная разница уровня $Y$ относительно baseline. Мок Q1: $D_1$ (лучшая локация) — baseline; $\hat\beta_{D_3}=-0{,}153$ значим → дома в локации 3 примерно на 15% дешевле, чем в локации 1, при прочих равных.
При взаимодействии эффект $X_1$ зависит от уровня $X_2$. Поэтому $\beta_2$ сам по себе — это наклон по $X_2$ только при $X_1=0$, а не «в общем». Ошибка в мок Q3a именно об этом.
Эффект $X$ нелинеен. Вершина $X^*$ — точка максимума (если $\gamma_2<0$) или минимума. Мок Q2: $\gamma_1=0{,}0563,\ \gamma_2=-2{,}13\cdot10^{-4}\Rightarrow X^*=0{,}0563/(2\cdot2{,}13\cdot10^{-4})\approx 132$ — после этого размера предельный эффект площади на лог-цену становится отрицательным. Включать $X^2$ стоит, если его $t$ значим (здесь $t=-17{,}5$, да).