По слайдам Vo5. Автоковариация, стационарность, белый шум и базовые модели AR/MA. Отсюда — задача 4 мок-экзамена (AR(1): условие стационарности, среднее и дисперсия).
Слабая (2-го порядка) стационарность: существуют вторые моменты и
Сильная стационарность: совместное распределение $(Y_{t_1},\dots,Y_{t_n})$ инвариантно к сдвигу во времени. Сильная + конечные 2-е моменты $\Rightarrow$ слабая.
$\gamma(0)=V(Y_t)$. Стационарные процессы mean-reverting: при $\rho(h)>0$ ряд тяготеет к долгосрочному уровню $\mu$. Эмпирическая ACF строится по выборочным $\hat\gamma(h)$.
Нестационарные примеры: случайное блуждание $Y_t=Y_{t-1}+\varepsilon_t$ (дисперсия растёт со временем); процесс с трендом $Y_t=2+0{,}01t+\varepsilon_t$ — trend-stationary (стационарен после вычитания тренда).
Постоянное среднее, постоянная дисперсия, нулевая автокорреляция. Гауссовский белый шум → независимые $\varepsilon_t$. Это «идеальные» остатки модели — цель остаточного анализа (проверка Ljung–Box, мок Q3e — true).
При $|\phi|<1$ существует стационарное решение $Y_t=\sum_{j\ge0}\phi^j\varepsilon_{t-j}$ (MA(∞)). При $\phi=1$ — случайное блуждание (нестационарно, единичный корень). Эквивалентно: корень характеристического полинома $1-\phi z=0$, т.е. $z=1/\phi$, лежит вне единичного круга.
Мок Q4: для $Y_t=\phi Y_{t-1}+\varepsilon_t$ среднее $=0$ (нет константы); дисперсия из $V(Y_t)=\phi^2 V(Y_t)+\sigma^2$. ACF убывает геометрически $\rho(h)=\phi^h$ — «хвост», а не обрыв. С константой $c$: $Y_t=c+\phi Y_{t-1}+\varepsilon_t \Rightarrow \mu=c/(1-\phi)$ (ср. пример $0{,}8Y_{t-1}+2 \Rightarrow \mu=10$).
MA всегда стационарна (конечная сумма белого шума). ACF MA(q) обрывается после лага $q$. AR(p) наоборот: ACF затухает «хвостом», а PACF обрывается после лага $p$.
| Процесс | ACF | PACF |
|---|---|---|
| AR(p) | затухает (хвост) | обрыв после лага p |
| MA(q) | обрыв после лага q | затухает (хвост) |
| ARMA(p,q) | затухает | затухает |