Econometrics — §6 ARMA, ARIMA, ARCH/GARCH

По слайдам Vo6. Объединение AR и MA, недетерминированные тренды через дифференцирование, условная гетероскедастичность волатильности.

6.1 ARMA(p, q)

ARMA(p, q)

$$Y_t=\phi_1 Y_{t-1}+\dots+\phi_p Y_{t-p}+\varepsilon_t+\theta_1\varepsilon_{t-1}+\dots+\theta_q\varepsilon_{t-q}$$

В лаг-операторной форме $\phi(B)Y_t=\theta(B)\varepsilon_t$, где $B Y_t=Y_{t-1}$. Процесс стационарен, если стационарна AR-часть; обратим, если обратима MA-часть.

Стационарность и обратимость через корни

$$\text{стационарность: корни } \phi(z)=0 \text{ вне единичного круга} \;\;(|z|>1)$$

$$\text{обратимость: инвертированные корни } \theta(B)=0 \text{ внутри единичного круга}$$

Эквивалентные формулировки путают на экзамене. «Корни характеристического полинома вне единичного круга» ⟺ «инвертированные корни внутри единичного круга». Мок Q3 «g»: «обратимость требует корней внутри единичного круга» — формулировка верна именно для инвертированных корней (или эквивалентно — корни $\theta(z)=0$ вне круга). Обратимость даёт единственное AR(∞)-представление и однозначную идентификацию по ACF.

6.2 ARIMA и единичный корень

ARIMA(p, d, q): дифференцирование

$$\Delta^d Y_t = (1-B)^d Y_t \;\text{— стационарный ARMA(p,q)}$$

Если ряд нестационарен, но становится стационарным после $d$-кратного дифференцирования — он интегрирован порядка $d$, $I(d)$. Случайное блуждание — ARIMA(0,1,0), интегрировано порядка 1, имеет единичный корень.

Тест Дики–Фуллера (ADF) на единичный корень

$$H_0:\ \text{единичный корень (нестационарность)} \quad\text{vs}\quad H_1:\ \text{стационарность}$$

Внимание к направлению: малый p (p < α) → отвергаем $H_0$ → ряд СТАЦИОНАРЕН. Мок Q3 «d» утверждает обратное («p<α → non-stationary») — это ложно. В R: adf.test. Большой p → не можем отвергнуть единичный корень → дифференцируем.

Ljung–Box (остаточный анализ)

$$Q=N(N+2)\sum_{h=1}^{m}\frac{\hat\rho(h)^2}{N-h}\sim\chi^2,\quad H_0:\ \text{остатки — белый шум}$$

Проверяет совместно автокорреляции остатков до лага $m$. Малый p → есть автокорреляция → модель недоспецифицирована. Большой p → остатки похожи на белый шум (хорошо). Мок Q3 «e» — true.

6.3 ARCH/GARCH — условная гетероскедастичность

ARCH(q)

$$x_t=\sigma_t z_t,\quad z_t\sim WN(0,1), \qquad \sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1 x_{t-1}^2+\dots+\alpha_q x_{t-q}^2$$

Условная дисперсия зависит от прошлых шоков → volatility clustering (кластеры волатильности, характерные для финансовых рядов). $E(x_t\mid \mathcal F_{t-1})=0$, но $E(x_t^2\mid\mathcal F_{t-1})=\sigma_t^2$ переменна. Безусловно ряд имеет постоянную дисперсию (может быть стационарным), но условно — нет.

GARCH(p, q)

$$\sigma_t^2=\alpha_0+\sum_{i=1}^{q}\alpha_i x_{t-i}^2+\sum_{j=1}^{p}\beta_j\sigma_{t-j}^2$$

Добавляет инерцию самой волатильности (лаги $\sigma^2$). GARCH(1,1) — рабочая лошадка: $\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1 x_{t-1}^2+\beta_1\sigma_{t-1}^2$, обычно $\alpha_1+\beta_1<1$ для стационарности дисперсии. Признак ARCH-эффектов — значимая ACF у $x_t^2$ или $|x_t|$ при белом ACF у самого $x_t$.

На экзамене. ADF: малый p ⇒ стационарность (не наоборот!). Random walk = ARIMA(0,1,0), $I(1)$, единичный корень. ARCH моделирует условную дисперсию, не среднее. Стационарность ARMA — от AR-части, обратимость — от MA-части.