← Econometrics · разобранный мок (с ответами)
Данные. Опрос работников. Переменные: wage — часовая зарплата; lwage = log(wage); educ — годы образования; exper — годы опыта; female = 1 для женщин; union = 1 для членов профсоюза. Базовые категории: мужчины, вне профсоюза.
Оценена модель (1): lwage ~ educ + exper + female + union.
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 1.763608 0.069103 25.522 < 2e-16 ***
educ 0.079655 0.004205 18.942 < 2e-16 ***
exper 0.007724 0.001278 6.042 4.58e-09 ***
female -0.212314 0.029777 -7.130 7.76e-12 ***
union 0.155201 0.032227 4.816 2.35e-06 ***
Residual standard error: 0.2561 on 295 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.6039, Adjusted R-squared: 0.5985
F-statistic: 112.4 on 4 and 295 DF, p-value: < 2.2e-16
studentized Breusch-Pagan test: BP = 39.371, df = 4, p-value = 5.84e-08
Jarque Bera Test (residuals): X-squared = 12.684, df = 2, p-value = 0.001761
educ и female.educ = 0,0797. Слева log(wage), поэтому коэффициент — относительное изменение: каждый дополнительный год образования повышает зарплату примерно на $100\cdot0{,}0797 \approx 8\%$ (точно $e^{0{,}0797}-1 = 8{,}3\%$), при прочих равных. Высоко значим ($p<2\cdot10^{-16}$).
female = −0,2123. Женщины зарабатывают примерно на $21\%$ меньше (точно $e^{-0{,}2123}-1 = -19{,}1\%$), чем сопоставимые мужчины при тех же образовании, опыте и профсоюзе. Значим ($p=7{,}8\cdot10^{-12}$). Дамми сдвигает интерсепт, наклоны не меняет.
Под вопросом. В модели (2) ниже квадрат опыта I(exper^2) значим ($p=7{,}7\cdot10^{-6}$), а $\bar R^2$ растёт. Значит в модели (1) пропущена нелинейность по опыту — кусок структуры остался в ошибке, график «остатки vs exper» покажет дугу, и $E[\varepsilon\mid X]\neq 0$. Экзогенность нарушена из-за неверной функциональной формы. (Дополнительно: для educ возможно смещение из-за пропущенной «способности».)
Нарушено. Breusch–Pagan: $p = 5{,}8\cdot10^{-8} < 0{,}05$ → отвергаем $H_0$ о постоянстве дисперсии → гетероскедастичность есть (правдоподобно: разброс зарплат растёт с образованием).
Последствия: коэффициенты OLS остаются несмещёнными (зависит только от AX), но обычные стандартные ошибки неверны → $t$/$F$-тесты и доверительные интервалы невалидны. Лечение — робастные (White/HC) стандартные ошибки или WLS. (Для educ HC1-SE $\approx 0{,}0044$ против наивной $0{,}0042$.)
Нарушено. Jarque–Bera: $p = 0{,}0018 < 0{,}05$ → отвергаем нормальность остатков. На большой выборке ($N=300$) это не страшно для $t$/$F$: работает центральная предельная теорема, инференция асимптотически валидна. На малой выборке точные тесты были бы под вопросом; иногда помогает преобразование (здесь уже взят логарифм).
Модель (2): lwage ~ educ + exper + I(exper^2) + female + union.
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 1.6392603 0.0722574 22.686 < 2e-16 ***
educ 0.0786025 0.0040777 19.276 < 2e-16 ***
exper 0.0291234 0.0048589 5.994 5.99e-09 ***
I(exper^2) -0.0005347 0.0001174 -4.554 7.71e-06 ***
female -0.2246449 0.0289553 -7.758 1.43e-13 ***
union 0.1692944 0.0313534 5.400 1.38e-07 ***
Residual standard error: 0.248 on 294 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.630, Adjusted R-squared: 0.6237
F-statistic: 100.1 on 5 and 294 DF, p-value: < 2.2e-16
studentized Breusch-Pagan test: BP = 40.738, df = 5, p-value = 1.06e-07
lwage для работника: educ = 16, exper = 10, female = 1, union = 0.Подставляем в модель (2):
$1{,}6393 + 0{,}0786\cdot16 + 0{,}02912\cdot10 - 0{,}0005347\cdot10^2 - 0{,}2246\cdot1 + 0{,}1693\cdot0$
$= 1{,}6393 + 1{,}2576 + 0{,}2912 - 0{,}0535 - 0{,}2246 = \mathbf{2{,}910}$ (log-wage).
Это соответствует $wage \approx e^{2{,}910} \approx 18{,}4$ ед.
$exper^* = -\dfrac{\hat\gamma_{exper}}{2\,\hat\gamma_{exper^2}} = -\dfrac{0{,}02912}{2\cdot(-0{,}0005347)} \approx \mathbf{27{,}2}$ года.
Коэффициент при квадрате отрицательный → парабола ветвями вниз → это максимум. Зарплата растёт с опытом примерно до 27 лет, дальше предельный эффект опыта становится отрицательным (обесценивание навыков, возрастные эффекты). Классическая «горбатая» кривая опыт–заработок.
Да. $t = -4{,}55$, $p = 7{,}7\cdot10^{-6}$ — высоко значим. Скорректированный $R^2$ вырос ($0{,}5985 \to 0{,}6237$), остаточная ошибка упала ($0{,}2561 \to 0{,}248$). Квадратичный член существенно улучшает спецификацию.
Не смещает. Несмещённость зависит только от экзогенности (AX); гетероскедастичность (нарушение AH) бьёт по дисперсии, а не по среднему оценки. OLS остаётся несмещённым, но перестаёт быть BLUE (теряет эффективность) и его наивные стандартные ошибки неверны.
Что делать: считать инференцию на робастных White/HC стандартных ошибках (не меняют оценки, чинят SE) либо применить WLS, если форма дисперсии известна/моделируема.
Для каждого утверждения: верно или неверно? Если неверно — исправь так, чтобы стало верно.
Рассмотри процесс $$Y_t = 3 + 0{,}5\,Y_{t-1} + \varepsilon_t,\qquad \varepsilon_t \sim \text{WN}(0,\ \sigma^2=4).$$
Условие: $|\phi| < 1$. Здесь $\phi = 0{,}5$, значит $|0{,}5|<1$ → процесс стационарен.
Среднее: $\mu = \dfrac{c}{1-\phi} = \dfrac{3}{1-0{,}5} = \mathbf{6}$.
Дисперсия: $\mathrm{Var}(Y_t) = \dfrac{\sigma^2}{1-\phi^2} = \dfrac{4}{1-0{,}25} = \dfrac{4}{0{,}75} \approx \mathbf{5{,}33}$.
$\rho(h) = \phi^{\,h}$, поэтому $\rho(1) = 0{,}5$, $\rho(2) = 0{,}25$. ACF затухает геометрическим хвостом; PACF AR(1) обрывается после лага 1.
$\hat Y_{t+1\mid t} = 3 + 0{,}5\cdot10 = \mathbf{8}$. (Эквивалентно $\mu + \phi(Y_t-\mu) = 6 + 0{,}5(10-6) = 8$.)
При $k\to\infty$: $\hat Y_{t+k\mid t} = \mu + \phi^k(Y_t-\mu) \to \mu = \mathbf{6}$ — возврат к долгосрочному среднему (mean reversion).