Econometrics — Mock exam: разбор

Дом-данные: log(price) ~ size + D2 + D3 + D4 + D5, baseline — локация 1. Все ссылки на конспект: §3, §4, §5, §6.

🎧 Разбор голосом — все 4 задачи по шагам, вычисления проговорены вслух (OpenAI)

Задача 1 — модель с дамми

a) Оценки $\beta_1$ и $\beta_3$ и их интерпретация

$\hat\beta_1=\hat\beta_{size}=0{,}02883$, $\hat\beta_3=\hat\beta_{D_3}=-0{,}15287$.

$\beta_1$ (size): модель log–level → дополнительный кв. фут площади увеличивает цену примерно на $100\cdot0{,}0288\approx 2{,}88\%$ (точно $e^{0{,}0288}-1=2{,}92\%$), при прочих равных. Высоко значим ($p<2\cdot10^{-16}$).

$\beta_3$ ($D_3$): дом в локации 3 стоит примерно на $15\%$ дешевле (точно $e^{-0{,}1529}-1=-14{,}2\%$), чем сопоставимый дом в baseline-локации 1. Значим ($p=0{,}0004$).

b) Экзогенность (AX)

Сомнительна. На графике «остатки vs size» виден систематический изгиб (U-образный паттерн), а добавление $size^2$ в модели (2) резко улучшает подгонку ($\bar R^2: 0{,}944\to0{,}972$, residual SE $0{,}192\to0{,}136$, $t_{size^2}=-17{,}5$). Это признак неверной функциональной формы в модели (1): пропущен квадратичный член → $E[\varepsilon\mid X]\ne0$, экзогенность нарушена. §2.1

c) Гомоскедастичность (AH)

Выполняется. Breusch–Pagan: $BP=4{,}07$, $df=5$, $p=0{,}54$ → не отвергаем $H_0$ о гомоскедастичности. График остатков без «воронки». §4.4

d) Нормальность (AN)

Выполняется. Jarque–Bera: $X^2=2{,}42$, $df=2$, $p=0{,}30$ → не отвергаем нормальность. Гистограмма остатков симметрична, Q–Q plot близок к прямой.

Задача 2 — добавили $size^2$

Модель (2): $\log(price)=\gamma_0+\gamma_1\,size+\gamma_2\,size^2+\gamma_3 D_2+\dots$, с $\gamma_0=8{,}113$, $\gamma_1=0{,}05634$, $\gamma_2=-2{,}130\cdot10^{-4}$, $\gamma_{D_3}=-0{,}2537$.

a) Ожидаемый $\log(price)$ для дома size $=120$, локация 3

$$\widehat{\log(price)}=8{,}113+0{,}05634\cdot120-2{,}130\cdot10^{-4}\cdot120^2-0{,}2537$$

$$=8{,}113+6{,}761-3{,}067-0{,}254\approx \mathbf{11{,}55}$$

Соответствует $price\approx e^{11{,}55}\approx \$104\,000$. (В мок-тексте единицы площади противоречивы — «square feet» против «120m²»; на экзамене подставляем данное число 120 в переменную size.)

b) Вершина параболы

$$size^*=-\frac{\gamma_1}{2\gamma_2}=-\frac{0{,}05634}{2\cdot(-2{,}130\cdot10^{-4})}\approx \mathbf{132{,}3}$$

$\gamma_2<0$ → парабола «вниз», вершина — максимум. До size $\approx132$ увеличение площади повышает лог-цену, после — предельный эффект становится отрицательным. Практически: для домов крупнее ~132 (за пределами типичных данных) модель предсказывает снижение цены — экстраполировать туда нельзя.

c) Включать ли квадрат?

Да. $t_{size^2}=-17{,}49$, $p<2\cdot10^{-16}$ — высоко значим; $\bar R^2$ вырос, residual SE упал. Квадратичный член существенно улучшает спецификацию.

d) Включать ли вообще size?

Да. Это проверяется совместным $F$-тестом $H_0:\gamma_1=\gamma_2=0$, а не отдельными $t$. Оба коэффициента высоко значимы, общий $F=1792$ ($p<2{,}2\cdot10^{-16}$) → size (в линейной и квадратичной форме) принадлежит модели. §2.4

Задача 3 — True / False

a) «$\beta_2$ в $Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\beta_3X_1X_2$ — наклон $Y$ по $X_2$». FALSE. При взаимодействии $\partial Y/\partial X_2=\beta_2+\beta_3X_1$. $\beta_2$ — наклон по $X_2$ только при $X_1=0$.

b) «$Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2D$ → две линии с наклонами, отличающимися на $\beta_2$». FALSE. Наклоны одинаковы ($\beta_1$); линии различаются интерсептом на $\beta_2$. (Разные наклоны дал бы член $D\cdot X_1$.)

c) «Ненормальность ошибок иногда устранима преобразованиями». TRUE. Напр. лог-преобразование часто и нормализует, и стабилизирует дисперсию.

d) «Если p-value ADF меньше уровня значимости, отвергаем $H_0$ и заключаем, что ряд нестационарен». FALSE. $H_0$ ADF — наличие единичного корня (нестационарность). Отвергаем $H_0$ → ряд СТАЦИОНАРЕН. §6.2

f) «OVB зависит от корреляции включённых и пропущенных регрессоров». TRUE. Bias $=B\beta_2$; если включённые и пропущенные ортогональны ($B=0$) — смещения нет. §4.2

e′) «Для AR(2) ACF обрывается на лаге 2». FALSE. На лаге 2 обрывается PACF; ACF у AR-процесса затухает «хвостом». §5.4

f′) «Если остатки регрессии — AR(1), стандартные ошибки коэффициентов всё ещё несмещённы». FALSE. Автокоррелированные ошибки нарушают AH → обычные OLS-стандартные ошибки смещены (обычно занижены) → t/F невалидны. Чинится HAC/Newey–West.

g) «Обратимость MA требует корней характеристического полинома внутри единичного круга». FALSE (как сформулировано). Корни $\theta(z)=0$ должны лежать вне единичного круга; эквивалентно — инвертированные корни внутри круга. §6.1

Задача 4 — AR(1)

$Y_t=\phi Y_{t-1}+\varepsilon_t$, $\varepsilon_t$ — белый шум с дисперсией $\sigma^2$.

a) Условие стационарности

$$|\phi|<1$$

Тогда существует стационарное MA(∞)-решение $Y_t=\sum_{j\ge0}\phi^j\varepsilon_{t-j}$. При $\phi=1$ — случайное блуждание (единичный корень, нестационарно).

b) Среднее и дисперсия (при $|\phi|<1$)

$$E[Y_t]=0, \qquad V(Y_t)=\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}$$

Среднее: $E[Y_t]=\phi E[Y_{t-1}]+0$, при стационарности $\mu=\phi\mu\Rightarrow\mu=0$ (нет константы). Дисперсия: $V(Y_t)=\phi^2V(Y_{t-1})+\sigma^2$, при стационарности $V=\phi^2V+\sigma^2\Rightarrow V=\sigma^2/(1-\phi^2)$. §5.3

Mock Exam — полный разбор (75 мин)