Раньше наблюдения были сами по себе. Во временных рядах — цена акции по дням, инфляция по месяцам — появляется главное свойство: соседние наблюдения связаны, сегодня помнит вчера. Вся теория — про то, как описать эту память и не обмануться ею.
Стационарность vs случайное блуждание
Стационарность — характер ряда не меняется во времени: постоянный средний уровень, постоянный разброс, и связь зависит только от расстояния между моментами. Картинка — ровная «колбаса», всё время возвращающаяся к среднему (mean reversion). Антипример — случайное блуждание: пьяница из бара, которого ничто не тянет назад.
Слева ряд всё время возвращается к зелёной средней. Справа — случайное блуждание $Y_t = Y_{t-1} + \varepsilon_t$: шаги накапливаются, разброс растёт со временем, возврата нет. Так часто ведут себя цены акций — поэтому их трудно прогнозировать.
$Y_t = Y_{t-1} + \varepsilon_t$
«сегодняшнее значение равно вчерашнему плюс новый случайный толчок». Притяжения к среднему нет — это и есть нестационарность.
Память ряда: ACF и авторегрессия
Автокорреляция — связь ряда с самим собой, сдвинутым на несколько шагов (лагов). Профиль памяти — это столбики автокорреляционной функции (ACF). У стационарного процесса они с ростом лага затухают: чем дальше прошлое, тем слабее эхо.
Главный кирпичик — авторегрессия первого порядка (AR(1)): объясняем сегодня его собственным прошлым.
$Y_t = \phi\,Y_{t-1} + \varepsilon_t,\qquad \text{стационарен} \iff |\phi| < 1$
«сегодня равно фи умножить на вчера плюс толчок». Фи — сила памяти. Стационарность тогда и только тогда, когда модуль фи меньше единицы. При фи равном единице — то самое случайное блуждание.
$E[Y_t]=0,\qquad V(Y_t)=\dfrac{\sigma^2}{1-\phi^2},\qquad \rho(h)=\phi^{\,h}$
«среднее ноль; дисперсия равна сигма-квадрат делить на единица минус фи в квадрате; автокорреляция на лаге аш равна фи в степени аш». Чем ближе фи к единице, тем меньше знаменатель и тем шире гуляет ряд. Память затухает плавным хвостом.
AR или MA? Зеркальное правило
Второй кирпичик — скользящее среднее (MA): сегодня строится из прошлых толчков, память короткая и резкая. Как отличить AR от MA по картинкам? Кроме ACF берут её строгую сестру — частную автокорреляцию (PACF), очищенную от промежуточных лагов. И есть два зеркальных правила.
У AR(p): ACF затухает хвостом, а PACF резко обрывается после лага p. У MA(q) — зеркально: ACF обрывается после лага q, PACF затухает. «Авторегрессия обрывается на частной, скользящее среднее — на обычной».
Ловушка экзамена. «У AR(2) обычная ACF обрывается на лаге 2» — неверно. Обрывается частная (PACF), а обычная затухает хвостом. Держишь зеркальное правило — подвох щёлкается мгновенно.
Тест на стационарность и лечение
Тест Дики-Фуллера (ADF). Его $H_0$ = «ряд нестационарен (единичный корень)». Поэтому малая p-value (<0,05) → отвергаем нестационарность → ряд СТАЦИОНАРЕН. Все спотыкаются: малая p тут — хорошая новость. Большая p → единичный корень не отвергнут → ряд нестационарен.
Лечение нестационарности часто простое — взять разности (сегодня минус вчера). Случайное блуждание после дифференцирования превращается в чистый шум, который уже стационарен. Если хватило одного раза — ряд интегрирован первого порядка; на этом и строится буква «I» в моделях ARIMA.
Итог. Хотим стационарность (постоянный уровень и разброс, возврат к среднему). Антипример — случайное блуждание. Память меряем ACF. Строим из двух кирпичиков: AR (стационарен при |φ|<1) и MA, различаем по зеркальному правилу обрывов. И в Бройше-Пагане, и в Дики-Фуллере малая p отвергает $H_0$ — просто всегда спрашивай, что именно стоит в нулевой гипотезе.