← Econometrics · Exam 2 · Мок 1 (с разбором)

Practice Exam 3 — временные ряды

Время: 75 минут. Упор на автокорреляцию, ARMA и GARCH. Сначала ответь сам, потом разверни «✅ Показать решение». Числа в R-выводе настоящие (симуляция, seeds 909/11).
🖨️ Печать (Ctrl/Cmd+P) скрывает решения — остаётся чистый бланк.

Задача 1 — регрессия по временным рядам

По выборке из $T=200$ кварталов оценена модель $y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t + u_t$.

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)  2.23002    0.10467  21.306  < 2e-16 ***
x            0.48377    0.02407  20.097  < 2e-16 ***
R-squared: 0.671     Residual standard error: 1.235

Durbin-Watson test:  DW = 0.6622, p-value < 2.2e-16  (alt: autocorr > 0)
ACF остатков (лаги 1..4):  0.668, 0.460, 0.231, 0.088

Newey-West HAC:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)  2.23002    0.16019  13.921  < 2e-16 ***
x            0.48377    0.03859  12.536  < 2e-16 ***

a) Интерпретируй наклон при x.

твой ответ…
✅ Показать решение

Модель level–level: рост $x$ на одну единицу повышает $y$ в среднем на $\hat\beta_1 = 0{,}484$ единицы, при прочих равных. По наивному выводу значим ($t=20{,}1$), но к этому выводу нужно отнестись осторожно — см. пункты (b)–(d).

b) Что показывает статистика Дарбина–Уотсона? Есть ли автокорреляция?

твой ответ…
✅ Показать решение

$DW = 0{,}66$ — далеко ниже 2 (ориентир «нет автокорреляции» — это $DW\approx 2$). Значение около нуля указывает на сильную положительную автокорреляцию первого порядка; $p<2{,}2\cdot10^{-16}$ отвергает $H_0$ об отсутствии автокорреляции. Это подтверждает и ACF остатков: $0{,}67,\ 0{,}46,\ 0{,}23,\dots$ — медленно затухающий хвост, типичный для AR-структуры в ошибках. Предположение AH (некоррелированность ошибок) нарушено.

c) Как сильная положительная автокорреляция влияет на наивные стандартные ошибки OLS — завышает или занижает неопределённость?

твой ответ…
✅ Показать решение

Занижает. При положительной автокорреляции соседние наблюдения несут меньше независимой информации, чем подразумевает $T$ — эффективное число наблюдений меньше. Наивная формула $\hat\sigma^2(X'X)^{-1}$ это игнорирует и даёт слишком маленькие SE → завышенные $t$, заниженные p-value, слишком узкие интервалы; тест over-отвергает. Сами оценки $\hat\beta$ при этом остаются несмещёнными (нарушено AH, а не AX).

d) Стандартная ошибка x по Newey–West равна 0,0386 против наивной 0,0241. Во сколько раз больше? Остаётся ли x значимым?

твой ответ…
✅ Показать решение

Отношение $0{,}0386 / 0{,}0241 \approx \mathbf{1{,}6}$ — робастная SE в полтора раза больше. Это и есть «честная» неопределённость с поправкой на автокорреляцию (HAC). Тем не менее $t = 0{,}484/0{,}0386 \approx 12{,}5$ — x остаётся высоко значимым. Вывод о значимости не изменился, но запас прочности теперь оценён корректно.

Задача 2 — идентификация и выбор ARMA

Для стационарного ряда (T = 400): эмпирическая ACF плавно затухает, а PACF резко обрывается после лага 1. Оценены три модели:

  model      AIC      BIC
   AR(1)  1130.05  1142.03
   MA(1)  1169.30  1181.27
 ARMA(1,1) 1130.65  1146.62

AR(1):  phi_hat = 0.575      auto.arima(stationary=TRUE) -> ARIMA(1,0,0)

a) На какой процесс указывают ACF и PACF?

твой ответ…
✅ Показать решение

Затухающая ACF + обрыв PACF после лага 1 → AR(1). Зеркальное правило: у AR(p) обрывается частная автокорреляция (PACF) на лаге p, а обычная ACF затухает хвостом. (Если бы наоборот обрывалась ACF — это был бы MA.)

b) Какая модель лучшая по AIC? По BIC?

твой ответ…
✅ Показать решение

Минимум обоих критериев — у AR(1): AIC $=1130{,}05$ (против $1130{,}65$ у ARMA(1,1) и $1169{,}30$ у MA(1)) и BIC $=1142{,}03$ (наименьший). Здесь оба критерия согласны, и `auto.arima` тоже выбрал ARIMA(1,0,0). MA(1) явно хуже — он не способен воспроизвести медленно затухающую ACF.

c) Почему AIC и BIC иногда расходятся, а здесь согласны?

твой ответ…
✅ Показать решение

BIC штрафует число параметров сильнее ($k\log T$ против $2k$ у AIC), поэтому BIC склонен к более экономным моделям и может разойтись с AIC, когда более сложная модель даёт лишь крошечный прирост подгонки. Здесь добавление MA-члена (ARMA(1,1)) почти не улучшает правдоподобие — AIC даже чуть хуже AR(1), — поэтому оба критерия единогласно выбирают экономную AR(1).

d) После оценки AR(1) ACF остатков лежит внутри доверительных полос. Что это значит?

твой ответ…
✅ Показать решение

Остатки ведут себя как белый шум — модель «впитала» линейную зависимость, серийной корреляции не осталось. Это подтверждается и тестом Льюнга–Бокса (большая p-value). Модель адекватна; можно использовать её для прогноза.

Задача 3 — Верно / Неверно

Верно или неверно? Если неверно — исправь.

a) Статистика Дарбина–Уотсона около 2 указывает на сильную положительную автокорреляцию.
✅ ОтветНеверно. $DW\approx2$ означает отсутствие автокорреляции; на сильную положительную указывает $DW$, близкое к 0.
b) Случайное блуждание становится стационарным после взятия первой разности.
✅ ОтветВерно. $\Delta Y_t = \varepsilon_t$ — белый шум; random walk интегрирован порядка 1, $I(1)$.
c) ARIMA(0,1,0) — это случайное блуждание.
✅ ОтветВерно. Одна разность, ни AR-, ни MA-членов → $Y_t=Y_{t-1}+\varepsilon_t$.
d) Модели ARCH/GARCH описывают условное среднее ряда.
✅ ОтветНеверно. Они моделируют условную дисперсию (волатильность), а не среднее.
e) В GARCH(1,1) условие $\alpha_1+\beta_1<1$ обеспечивает конечную безусловную дисперсию (стационарность по дисперсии).
✅ ОтветВерно. Сумма $\alpha_1+\beta_1$ — персистентность; $<1$ → процесс возвращается к долгосрочной дисперсии $\alpha_0/(1-\alpha_1-\beta_1)$.
f) Если ACF ряда обрывается после лага $q$, это указывает на процесс AR($q$).
✅ ОтветНеверно. Обрыв ACF на лаге $q$ → MA($q$). У AR обрывается PACF, а ACF затухает.
g) Критерии AIC и SC (BIC) всегда выбирают одну и ту же модель.
✅ ОтветНеверно. SC штрафует параметры сильнее ($k\log T$), поэтому может выбрать более экономную модель, чем AIC.
h) Процесс MA(1) обратим, если $|\theta|<1$.
✅ ОтветВерно. Тогда существует единственное представление через AR($\infty$), и модель однозначно идентифицируется по ACF.
i) При наличии единичного корня обычные $t$-статистики имеют стандартное $t$-распределение.
✅ ОтветНеверно. Распределение нестандартное (Дики–Фуллера); наивная регрессия нестационарных рядов грозит «ложной регрессией».

Задача 4 — теория: MA(1) и GARCH(1,1)

a) MA(1): $\;Y_t = \varepsilon_t + 0{,}6\,\varepsilon_{t-1}$, где $\varepsilon_t \sim \text{WN}(0,\ \sigma^2=2)$. Найди $E[Y_t]$, $\mathrm{Var}(Y_t)$, $\rho(1)$, $\rho(2)$ и проверь обратимость.

твой ответ…
✅ Показать решение

Среднее: $E[Y_t]=0$.

Дисперсия: $\mathrm{Var}(Y_t)=(1+\theta^2)\sigma^2=(1+0{,}36)\cdot2=\mathbf{2{,}72}$.

Автокорреляция: $\rho(1)=\dfrac{\theta}{1+\theta^2}=\dfrac{0{,}6}{1{,}36}\approx \mathbf{0{,}441}$; $\rho(h)=0$ для $h\ge 2$ (ACF MA(1) обрывается после лага 1).

Обратимость: $|\theta|=0{,}6<1$ → процесс обратим.

b) GARCH(1,1): $\;\sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1\varepsilon_{t-1}^2 + \beta_1\sigma_{t-1}^2$ с $\alpha_0=0{,}00002,\ \alpha_1=0{,}08,\ \beta_1=0{,}90$. Стационарна ли дисперсия? Найди безусловную (долгосрочную) дисперсию.

твой ответ…
✅ Показать решение

Персистентность: $\alpha_1+\beta_1 = 0{,}08+0{,}90 = 0{,}98 < 1$ → дисперсия стационарна (близко к 1 → высокая персистентность волатильности, длинные кластеры).

Безусловная дисперсия: $\dfrac{\alpha_0}{1-\alpha_1-\beta_1} = \dfrac{0{,}00002}{1-0{,}98} = \dfrac{0{,}00002}{0{,}02} = \mathbf{0{,}001}$, то есть долгосрочное стандартное отклонение $\sqrt{0{,}001}\approx 0{,}0316$ (≈3,16% за период).

← Exam 2 Econometrics →