← Econometrics · Exam 2 · Exam 3
Данные. Дневные продажи кафе. lsales = log(продажи); lprice = log(цена); advert — расходы на рекламу (тыс.); weekend = 1 в выходные. Модель лог-лог по цене.
Модель (1): lsales ~ lprice + advert + weekend.
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 6.24333 0.07111 87.797 < 2e-16 ***
lprice -1.32265 0.03816 -34.661 < 2e-16 ***
advert 0.02199 0.00326 6.746 1.1e-10 ***
weekend 0.42593 0.03865 11.020 < 2e-16 ***
R-squared: 0.850 Adjusted R-squared: 0.848 RSE: 0.275 F: 465.2
studentized Breusch-Pagan test: BP = 3.172, df = 3, p-value = 0.3659
Jarque Bera Test (residuals): X-squared = 0.638, df = 2, p-value = 0.7268
lprice и weekend.lprice = −1,32 (эластичность). Лог-лог: рост цены на 1% снижает продажи на ≈1,32% — спрос эластичный. weekend = 0,43. В выходные продажи примерно на $e^{0{,}43}-1 \approx 53\%$ выше, чем в будни, при прочих равных (дамми сдвигает уровень).
Под вопросом. В модели (2) квадрат рекламы значим → в модели (1) пропущена нелинейность по рекламе, структура осталась в ошибке → $E[\varepsilon\mid X]\neq0$. Нарушение из-за функциональной формы.
Выполняется. Breusch–Pagan $p=0{,}37 > 0{,}05$ → не отвергаем $H_0$ → разброс постоянный. (Внимание: вывод противоположен Exam 2 — читай p-value.)
Выполняется. Jarque–Bera $p=0{,}73 > 0{,}05$ → нормальность не отвергаем.
Модель (2): lsales ~ lprice + advert + I(advert^2) + weekend.
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 6.017460 0.078920 76.244 < 2e-16 ***
lprice -1.324830 0.036100 -36.701 < 2e-16 ***
advert 0.086740 0.012230 7.092 1.4e-11 ***
I(advert^2) -0.003240 0.000590 -5.471 1.1e-07 ***
weekend 0.425510 0.036560 11.638 < 2e-16 ***
Adjusted R-squared: 0.864 RSE: 0.260
lsales при price = 5, advert = 10, weekend = 1.$6{,}0175 - 1{,}3248\cdot\ln 5 + 0{,}0867\cdot10 - 0{,}00324\cdot10^2 + 0{,}4255$
$= 6{,}0175 - 2{,}132 + 0{,}867 - 0{,}324 + 0{,}4255 \approx \mathbf{4{,}854}$ → продажи $\approx e^{4{,}854}\approx 128$.
$advert^* = -\dfrac{0{,}0867}{2\cdot(-0{,}00324)} \approx \mathbf{13{,}4}$. Квадрат отрицателен → максимум: оптимальный рекламный бюджет ≈ 13,4 тыс., дальше тратить невыгодно.
Да. $t=-5{,}47$, $p\approx10^{-7}$; $\bar R^2$ вырос ($0{,}848\to0{,}864$), RSE упал. Значим и улучшает модель.
Убывающая отдача. Каждая следующая тысяча рекламы даёт меньший прирост продаж; после оптимума (~13,4) дополнительная реклама снижает эффект. Вогнутая кривая отдачи.
Верно или неверно? Если неверно — исправь. У каждого пункта — аудио.
Верно. Это процентное изменение Y на 1% изменения X.
Неверно. Оценки несмещённые; ломаются только SE и эффективность.
Неверно. Сдвигает интерсепт (уровень). Наклон меняет член взаимодействия.
Верно. F сравнивает ограниченную и полную модели.
Верно. Раздувает SE, оценки нестабильны; общая модель значима, коэффициенты — нет.
Верно. $\bar R^2$ штрафует за параметры, в отличие от обычного $R^2$.
$Y_t = 4 + 0{,}6\,Y_{t-1} + \varepsilon_t,\quad \varepsilon_t\sim\text{WN}(0,\ \sigma^2=9)$.
Среднее $\mu = \dfrac{c}{1-\phi} = \dfrac{4}{0{,}4} = \mathbf{10}$. Дисперсия $=\dfrac{\sigma^2}{1-\phi^2} = \dfrac{9}{1-0{,}36} = \dfrac{9}{0{,}64} \approx \mathbf{14{,}06}$.
1 шаг: $4 + 0{,}6\cdot16 = \mathbf{13{,}6}$. 2 шага: $4 + 0{,}6\cdot13{,}6 = \mathbf{12{,}16}$ (или $\mu+\phi^2(Y_t-\mu)=10+0{,}36\cdot6=12{,}16$). При $k\to\infty$ прогноз $\to \mu = \mathbf{10}$.