По CTFI-lecture-notes.pdf (Frey, 2020), глава 1. Дискретный мир — мост к непрерывному: здесь появляются no-arbitrage, EMM и risk-neutral pricing без стохастического интеграла.
Модель живёт на конечном $\Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_s\}$ и датах $n=0,\ldots,N$. Фильтрация $\{\mathcal{F}_n\}$ — это «что мы уже знаем к вечеру дня $n$». Событие $A\in\mathcal{F}_n$, если к моменту $n$ можно однозначно сказать, случилось $A$ или нет.
Два актива: безрисковый счёт $S_n^0=(1+r)^n$ и акция $S_n^1$, адаптированная к $\mathcal{F}_n$. Стратегия $\phi_n=(\phi_n^0,\phi_n^1)$ — сколько единиц счёта и акций держим на интервале $(n-1,n]$; решение принимается по $\mathcal{F}_{n-1}$, не по сегодняшней цене.
$D_n$ — сколько евро сегодня стоит 1 евро в момент $n$. Дисконтирование убирает рост безрискового актива: $\tilde{S}^0$ становится константой 1. Дальше все martingale-условия пишутся для $\tilde{S}^1$, а не для «сырой» цены.
$V_n$ — рыночная стоимость портфеля в момент $n$. $\tilde{V}_n$ — та же стоимость в «сегодняшних» единицах. Под EMM именно $\tilde{V}$ окажется мартингалом для self-financing стратегии.
При перебалансировке в $n$ не вносим и не снимаем cash: wealth до смены позиции равен wealth после смены позиции, оценённому по тем же ценам $S_n$. Если нарушить это — в модель «из воздуха» попадают деньги.
Вся динамика портфеля — от позиции в акции. Позиция в безрисковом активе в дисконте не даёт отдельного слагаемого, потому что $\tilde{S}^0\equiv 1$. На экзамене это объясняет, почему при доказательстве Lemma 1.7 достаточно смотреть на приращения $\tilde{S}^1$.
Arbitrage: self-financing стратегия с $V_0=0$, $V_N\ge 0$ и $P(V_N>0)>0$. Интуиция — «бесплатный обед». Модель с арбитражем бессмысленна для ценообразования: продавец опциона может быть разорён арбитражёром.
$Q$ — новая вероятность, эквивалентная $P$ (те же нулевые события). Под $Q$ дисконтированная акция — мартингал: ожидаемая дисконтированная доходность нулевая. Название risk-neutral — историческое; инвесторы не обязаны быть нейтральны к риску в реальном мире $P$.
В дискретном конечном случае — строгое «если и только если». Нет арбитража $\Rightarrow$ discounted wealth любой self-financing стратегии — $Q$-мартингал (Lemma 1.7) $\Rightarrow$ нельзя получить $V_N>0$ из $V_0=0$. Обратное направление — separating hyperplane (см. Bingham & Kiesel).
Contingent claim $H$ — $\mathcal{F}_T$-измеримый payoff в срок $T$. Attainable: существует replicating self-financing $\phi$ с $V_T=H$. Complete market: любой claim attainable.
Справедливая цена = стоимость реплицирующего портфеля = discounted $Q$-expectation payoff. Если цена выше — продавец опциона продаёт дорого и хеджируется; ниже — покупатель. На практике $Q$ не наблюдаема; в CRR $q$ вычисляется из $u,d,r$.
За один шаг: $S_{n+1}=u S_n$ с вероятностью $p$ или $d S_n$ с $1-p$. No-arbitrage: $d < 1+r < u$. Ищем $q$ такое, что одношаговый дисконтированный приращение — мартингал.
Условие $E^Q[\tilde{S}_1]=\tilde{S}_0$ даёт одно уравнение на $q$. При no-arbitrage $q\in(0,1)$. Цена опциона — матожидание payoff по дереву с весами $q$, затем дисконт. При $N\to\infty$ и правильном масштабе $u,d\to 1$ получаем Black–Scholes.