← Карта тем · §1 · PDF

§2 Stochastic Processes in Continuous Time

Frey, глава 2. Здесь появляются фильтрация в непрерывном времени, мартингалы, stopping times и Brownian motion — фундамент для Itô и Black–Scholes.

2.1 Basic notions

Работаем на $(\Omega,\mathcal{F},P)$ с фильтрацией $\{\mathcal{F}_t\}_{t\ge 0}$, где $\mathcal{F}_s\subseteq\mathcal{F}_t$ при $sAdapted: $X_t$ измерима относительно $\mathcal{F}_t$ — цена «известна» к моменту $t$.

Мартингал: $E|X_t|<\infty$ и $E(X_t\mid\mathcal{F}_s)=X_s$ для $s\le t$. Суб-/супермартингал — неравенства $\ge$, $\le$. Markov: будущее зависит от прошлого только через $X_t$: $E(f(X_{t+s})\mid\mathcal{F}_t)=E(f(X_{t+s})\mid\sigma(X_t))$.

Мартингал (определение)
$$E(X_t \mid \mathcal{F}_s) = X_s \quad \text{для всех } s \le t$$

Интуиция: «справедливая игра» — условное ожидание завтра равно сегодняшнему значению. Под $Q$ дисконтированная цена акции — мартингал (связь с §1). BM, $W_t^2-t$ и $\mathcal{E}(\sigma W_t-\frac{1}{2}\sigma^2 t)$ — классические примеры.

2.2 Stopping times

Stopping time $\tau$: событие $\{\tau\le t\}\in\mathcal{F}_t$ для всех $t$ — момент остановки определяется без заглядывания в будущее. Пример: first hitting time $\tau_A=\inf\{t\ge 0: X_t\in A\}$.

$\mathcal{F}_\tau$ — информация, наблюдаемая к моменту $\tau$. Остановленный процесс: $X_t^\tau=X_{t\wedge\tau}$.

Optional sampling theorem (2.18)
$$X \text{ мартингал } \Leftrightarrow E(X_\tau)=E(X_0) \text{ для bounded } \tau$$

Для ограниченного stopping time мартингал «в среднем» не даёт выигрыша. Следствие: остановленный мартингал $X^\tau$ снова мартингал. На final часто: Snell envelope, американские опционы — та же логика «нельзя обыграть мартингал».

2.3 Brownian motion

Стандартный BM $W_t$ (Wiener process): $W_0=0$, независимые приращения, $W_{t+u}-W_t\sim N(0,u)$, непрерывные пути. Bachelier (1900) — арифметический BM для акций; Samuelson — геометрический (§4).

Ковариация и распределение
$$W_t \sim N(0,t), \qquad \mathrm{Cov}(W_t,W_s)=\min(t,s)$$

При $t>s$: $E(W_t W_s)=s$, потому что приращение $W_t-W_s$ независимо от $W_s$. На экзамене это первый шаг почти в любой задаче с BM.

Quadratic variation BM (Thm 2.31)
$$[W]_t = t \quad \text{(почти наверное по подходящим разбиениям)}$$

Сумма квадратов приращений $\sum (W_{t_i}-W_{t_{i-1}})^2\to t$. Первая вариация BM бесконечна — пути «слишком шероховаты» для обычного интеграла. Это мотивирует Itô (§3).

Мартингалы из BM (Prop 2.24)
$$W_t, \quad W_t^2-t, \quad \exp\!\left(\sigma W_t - \tfrac{1}{2}\sigma^2 t\right) \text{ — мартингалы}$$

$W_t^2-t$ компенсирует дрифт квадрата. Экспоненциальный мартингал — ядро Girsanov (§5): плотность смены меры $\mathcal{E}(-\int\theta\,dW)$.

Lévy characterization (2.35)
$$M_0=0,\; [M]_t=t,\; M \text{ cont. martingale} \;\Rightarrow\; M \text{ is BM}$$

Квадратичная вариация + мартингалность характеризуют Wiener process. Обратное к свойствам $W_t$.

Устно: «Мартингал — условное ожидание не меняется. Stopping time — решение по прошлому. BM: нормальные приращения, $[W]_t=t$, первая вариация бесконечна. Optional sampling: $E(X_\tau)=E(X_0)$ для bounded $\tau$.»

← §1 · §3 Itô →