← Econometrics · Exam 4 · Exam 3 · Exam 2
Данные. Студенты: score — балл за экзамен; hours — часов подготовки в неделю; female = 1 для девушек. Оценена модель со взаимодействием hours:female.
Модель: score ~ hours + female + hours:female.
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 44.7221 0.9963 44.888 < 2e-16 ***
hours 2.1866 0.0835 26.176 < 2e-16 ***
female 6.8154 1.5037 4.532 9.0e-06 ***
hours:female 0.9412 0.1252 7.515 1.3e-12 ***
R-squared: 0.910 Adjusted R-squared: 0.908 RSE: 5.77
studentized Breusch-Pagan test: BP = 4.785, df = 3, p-value = 0.1883
hours и hours:female.hours = 2,19 — наклон по часам для базовой группы (юноши, female = 0): каждый дополнительный час подготовки даёт +2,19 балла.
hours:female = 0,94 — добавка к наклону для девушек: у них отдача часа выше на 0,94 балла. То есть наклон по часам у девушек $= 2{,}19 + 0{,}94 = 3{,}13$.
$\dfrac{\partial\,score}{\partial\,hours}\Big|_{female=1} = \beta_{hours} + \beta_{hours:female} = 2{,}19 + 0{,}94 = \mathbf{3{,}13}$ балла за час. (У юношей — 2,19.) Взаимодействие именно для этого и нужно: оно позволяет наклонам отличаться по группам.
female = 6,82. В чём подвох?Это разрыв интерсептов: при hours = 0 девушки в среднем на 6,82 балла выше юношей. Подвох: в модели со взаимодействием $\beta_{female}$ — это разница групп только при hours = 0, а не «в среднем». Полная разница на уровне часов $h$ равна $6{,}82 + 0{,}94\,h$ и растёт с числом часов.
female и hours:female к модели score ~ hours даёт F = 276,9 (df = 2, 236), p < 2,2e-16. Что он проверяет и каков вывод?Это совместный F-тест $H_0:\ \beta_{female} = \beta_{hours:female} = 0$ — «пол не влияет ни на уровень, ни на наклон». $F = 276{,}9$, $p<2{,}2\cdot10^{-16}$ → отвергаем → пол значимо влияет. Важно: совместную значимость двух коэффициентов проверяют именно F-тестом, а не двумя отдельными t (особенно когда регрессоры коррелированы).
$44{,}72 + 2{,}19\cdot10 + 6{,}82\cdot1 + 0{,}94\cdot10 = 44{,}72 + 21{,}87 + 6{,}82 + 9{,}41 \approx \mathbf{82{,}8}$ балла.
Разрыв $= \beta_{female} + \beta_{hours:female}\cdot hours = 6{,}82 + 0{,}94\,hours$. Он положителен и растёт с числом часов: чем больше готовятся, тем сильнее девушки опережают юношей (в этих данных). При hours = 0 разрыв 6,82; при 10 часах — уже 16,2 балла.
Выполняется. Breusch–Pagan $p = 0{,}19 > 0{,}05$ → не отвергаем $H_0$ → разброс ошибок постоянный, обычные SE валидны.
female?Одна дамми female сдвигает только интерсепт — задаёт две параллельные линии с одинаковым наклоном. Член взаимодействия hours:female позволяет разные наклоны: отдача часа подготовки у групп различается. Здесь это существенно ($t = 7{,}5$), поэтому без взаимодействия модель была бы неверно специфицирована.
Верно или неверно? Если неверно — исправь.
Для ряда (T = 300) тест Дики–Фуллера дал:
Augmented Dickey-Fuller Test Dickey-Fuller = -3.7518, Lag order = 6, p-value = 0.02181 alternative hypothesis: stationary
$H_0$ ADF — единичный корень (нестационарность). $p = 0{,}022 < 0{,}05$ → отвергаем $H_0$ → ряд стационарен на 5% уровне. (Помни направление: малая p в ADF — это «хорошо», ряд стационарен.)
Формально стационарен, т.к. $|\phi| = 0{,}95 < 1$. Дисперсия $= \dfrac{\sigma^2}{1-\phi^2} = \dfrac{1}{1-0{,}9025} = \dfrac{1}{0{,}0975} \approx \mathbf{10{,}26}$.
$\phi$ близко к 1 → высокая персистентность: шоки затухают очень медленно ($\rho(h)=0{,}95^h$), возврат к среднему долгий, ряд почти как случайное блуждание. На конечной выборке такие ряды легко принять за нестационарные — поэтому ADF здесь особенно полезен.