← Карта тем · §2 · PDF
Föllmer (1981) pathwise подход в notes Frey. Идея: для путей с ненулевой квадратичной вариацией обычный chain rule ломается — появляется коррекция $\frac{1}{2}f''\,d[X]$.
Пусть $X$ непрерывен с квадратичной вариацией $[X]_t$, $F\in C^2$. Тогда:
Второй интеграл — «коррекция Ито». Если $[X]=0$ (конечная первая вариация), получаем классическую формулу. Для BM: $[W]_t=t$, отсюда $d(W_t^2)=2W_t\,dW_t+dt$.
Краткая запись на экзамене. Правила: $dW_t\cdot dW_t=dt$, $dt\cdot dW_t=0$, $dt\cdot dt=0$ (умножение дифференциалов по таблице Itô).
Интегрант на левом конце интервала — non-anticipating. Это делает gain from trade мартингалом под $Q$ (связь с hedging в §4). Stratonovich — середина интервала; в курсе — Itô.
Квадратичная вариация интеграла — интеграл от квадрата интегранда по $d[X]$. Для $\int W\,dW$: $[I]_t=\int_0^t W_s^2\,ds$.
Дискретный аргумент: сумма $f(M_{t_{i-1}})(M_{t_i}-M_{t_{i-1}})$ — мартингал. В пределе — local martingale (интегрируемость может «ломать» true martingale). Критерий true martingale: $E[M]_t<\infty$ (Prop 3.9).
Ковариация — симметричная билинейная форма. Независимые BM: $[W^1,W^2]_t=0$. Для Itô-интегралов: $[\int f\,dX,\int g\,dX]_t=\int fg\,d[X]$.
Аналог $d(xy)=x\,dy+y\,dx$, но с добавкой $d[X,Y]$. Для независимых BM лишний член исчезает. Основа вывода BS PDE (§4).
Для $F(t,x)$ с производной по $t$. Применяем к $V(t,S_t)$ в Black–Scholes — появляется $\Theta$ (чувствительность к календарному времени).