← Карта тем · §3 · PDF
Модель: безрисковый счёт $S_t^0=e^{rt}$, акция $S_t^1=S_t$ следует GBM. Payoff европейского опциона $h(S_T)$. Здесь — вывод PDE и формула call; $\mu$ исчезает из цены.
Bachelier: $S_t=S_0+\sigma W_t+\mu t$ — цена может стать отрицательной. Samuelson / Black–Scholes: геометрический BM.
Лог-доходность за $h$: $N\big((\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)h,\,\sigma^2 h\big)$. Волатильность $\sigma$ — std log-return на единицу времени. Независимые log-returns на непересекающихся интервалах.
Markov-стратегия: $\phi(t,S)$ акций, $\eta(t,S)$ на счёте, $V(t,S)=S\phi+\eta S^0$. Self-financing $\Leftrightarrow$ $V(t,S_t)=V(0,S_0)+G_t$ с Itô-интегралами по $S$ и $S^0$.
Вывод: применить Itô к $V(t,S_t)$, подставить $dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dW$, $[S]_t=\sigma^2 S^2 t$, выбрать $\phi=V_S$ (убираем $dW$), портфель локально безрисковый $\Rightarrow$ растёт по $r$. Terminal: $V(T,S)=h(S)$.
Реплицирующий портфель: $\phi$ акций + облигация. $\Delta=\partial V/\partial S$ — число акций в hedge. Для call: $0<\Delta<1$.
Call: $h(S)=(S-K)^+$. Решение PDE (через heat equation) даёт:
$N(\cdot)$ — cdf стандартного нормального. $N(d_2)$ под $Q$ связано с $P(S_T>K)$. Put: put–call parity или формула с $N(-d_1)$, $N(-d_2)$.
Следует из no-arbitrage (портфель long call + short put + bond = forward). Не зависит от модели $S$ — только от отсутствия арбитража.
$\Delta$ — hedge ratio; $\Gamma$ — как быстро меняется $\Delta$ (частота rebalance); Vega ($\mathcal{V}$) — чувствительность к $\sigma$ (всегда $>0$ для long option). $\Theta_C = \partial C/\partial t$ — time decay (обычно $<0$ для call).
Historical: $\hat\sigma$ из std log-returns, масштаб $\sqrt{\Delta}$. Implied: $\sigma_{\mathrm{impl}}$ из уравнения $C_{\mathrm{BS}}(\sigma_{\mathrm{impl}})=C_{\mathrm{market}}$ — «прогноз рынка».
Ошибка хеджа пропорциональна $(\sigma_t^2-(\sigma^*)^2)$ и среднему Gamma. Если $h_{SS}>0$ (call) и реальная vol выше — hedge теряет. Model risk — ключевая тема практики.