MathFin — §5 Girsanov & Feynman

Глава 5 notes + Final Preparation Lecture (Traxler). Связывает PDE-подход (§4) с risk-neutral expectation — типично на final и в minitests.

5.1–5.2 Feynman–Kac

PDE с генератором Itô-процесса решается как условное ожидание discounted payoff. Это probabilistic twin Theorem 4.2.

PDE → SDE (setup)

$$\frac{\partial f}{\partial t} + \mu(x)\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2}\sigma^2(x)\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = r(x)\,f, \qquad f(T,x)=\Phi(x)$$

Левая часть — генератор $\mathcal{L}$ плюс discount $rf$. Процесс: $dX_t=\mu(X_t)\,dt+\sigma(X_t)\,dW_t$, $X_{t_0}=x$. Решение PDE в точке $(t_0,x)$ — expectation от $\Phi(X_T)$ с discount.

Feynman–Kac (standard form)

$$f(t,x) = E^x\!\left[\exp\!\left(-\int_t^T r(X_s)\,ds\right)\Phi(X_T)\right]$$

Под $P$ (или $Q$ после Girsanov). Markov property: в expectation участвует только текущее $x$, не вся история. Сдвиг времени: $f(t,x)=E^x[\exp(-\int_0^{T-t} r(X_s)\,ds)\,\Phi(X_{T-t})]$.

Black–Scholes как частный случай

$$C(t,S) = E^Q\!\left[e^{-r(T-t)}(S_T-K)^+ \,\Big|\, S_t=S\right]$$

Под $Q$: $dS_t=rS_t\,dt+\sigma S_t\,dW_t^Q$ (дрифт $\mu$ заменён на $r$). Feynman–Kac даёт ту же PDE (4.4); решение — BS formula. На экзамене: записать $\mathcal{L}$, применить FK, взять expectation (иногда явно, иногда «известная формула»).

5.3 Girsanov theorem

Смена меры $P\to Q$ сдвигает дрифт BM. Убираем risk premium $\mu-r$ из GBM.

Density / Radon–Nikodym

$$\left.\frac{dQ}{dP}\right|_{\mathcal{F}_T} = \mathcal{E}\!\left(-\int_0^T \theta_s\,dW_s\right), \qquad Z_t = E^P\!\left[\frac{dQ}{dP}\,\Big|\,\mathcal{F}_t\right]$$

$Z_t$ — $P$-мартингал (density process). $\mathcal{E}(\cdot)$ — stochastic exponential. Novikov condition — достаточное условие, чтобы $Q$ была вероятностью. $\theta$ — market price of risk.

Girsanov (1D BM)

$$W_t^Q = W_t + \int_0^t \theta_s\,ds \quad \text{— BM под } Q$$

Под $Q$ дрифт BM сдвинут. Для GBM: $\theta_t=(\mu-r)/\sigma$ даёт $dS_t=rS_t\,dt+\sigma S_t\,dW_t^Q$. Это формализует «risk-neutral world» из §1.

Связь §1 ↔ §5

Дискретный EMM (§1) и Girsanov (§5) — одна идея: существует $Q\sim P$, под которой discounted цены — мартингалы; цена claim = $Q$-expectation payoff. FFTAP в continuous time (Delbaen–Schachermayer) — продвинутая версия Theorem 1.10.

Шпаргалка: что писать на final

$$\text{1) SDE for } X \;\Rightarrow\; \text{2) generator } \mathcal{L} \;\Rightarrow\; \text{3) Feynman–Kac} \;\Rightarrow\; \text{4) expectation or closed form}$$

Tips PDF курса: Itô integral и Feynman–Kac — «very essential». Minitests часто = прошлые exercises. American options / Snell envelope — из slides 2023, обычно final (optimal stopping).

Устно: «Feynman–Kac: решение PDE = discounted expectation payoff по Itô-процессу. Girsanov: меняем меру, BM получает сдвиг дрифта, $\mu$ в GBM заменяется на $r$. Цена опциона = $E^Q[e^{-rT}(S_T-K)^+]$.»

§5 Further Tools — Girsanov & Feynman–Kac

5.1–5.2 Feynman–Kac

5.3 Girsanov theorem

Связь §1 ↔ §5