← MathFin · Midterm 2020 · Minitests 2015
Midterm CTF I (30% оценки) обычно покрывает §2–§3: Brownian motion, мартингалы, квадратичная вариация, формула Ито, Itô-интеграл, иногда линейные SDE. Black–Scholes и Girsanov — чаще на final, но minitests их трогают. Ниже — карта по реальным экзаменам и пошаговые решения в формате устного экзамена.
| Источник | Тема | Что просят |
|---|---|---|
| 2020 | BM martingale | Доказать $W_t$ — мартингал по $\mathcal{F}_t=\sigma(W_s,s\le t)$ |
| 2020 | Itô | $X_t=B_t^3$: semimartingale decomposition + $[X]_t$ |
| 2020 | Itô + local martingale | $M_t=F(W_t)-\frac{1}{2}\int_0^t F''(W_s)\,ds$; $[M]_t$; $E[M]_t<\infty$ |
| Minitest | Martingale | Найти $a$: $at+2W_t^2$ — мартингал; $W_t^2-t$ |
| Minitest | QV | $[W]_t=t$; первая вариация BM бесконечна |
| Minitest | Itô integral | $\mathrm{Var}(\int_0^t f\,dW)$; ковариация двух интегралов |
| Minitest | SDE | $dS_t=S_t\,dt+dW_t$; $X_t=\int_0^t W_s\,dW_s$ |
| 2012 | Theory | Шаги определения Itô-интеграла; когда мартингал |
| 2021 | scan | PDF — скан (Genius Scan); смотри в просмотрщике |
Задача. $W_t$ — стандартный BM, $\mathcal{F}_t=\sigma(W_s,s\le t)$. Показать: $W_t$ — мартингал относительно $(\mathcal{F}_t)$.
Для $s\le t$ пишем $W_t=(W_t-W_s)+W_s$. Приращение $W_t-W_s$ независимо от $\mathcal{F}_s$ и имеет $N(0,t-s)$, значит условное ожидание 0. $E|W_t|<\infty$ — очевидно. Это базовый шаблон: «разбить на известное + независимое приращение».
Задача. $B$ — BM. Формула Ито для $F(x)=x^3$: semimartingale decomposition и $[X]_t$.
$F'=3x^2$, $F''=6x$. Второй член — $\frac{1}{2}\int F''(B_s)\,d[B]_s=\frac{1}{2}\int 6B_s\,s\,ds$? Стоп: $[B]_t=t$, значит $\frac{1}{2}\cdot 6\int B_s\,ds = 3\int B_s\,ds$. Первый интеграл — local martingale part; второй — finite variation (drift).
Для $X_t=\int H_s\,dB_s + A_t$ с $A$ конечной вариации: $[X]_t=\int H_s^2\,d[B]_s$. Drift в QV не входит. На экзамене часто просят явно отделить martingale part и $[X]_t$.
Задача. $F\in C^2(\mathbb{R})$, $|F'|$ ограничена. $M_t = F(W_t) - \frac{1}{2}\int_0^t F''(W_s)\,ds$. (a) local martingale; (b) $[M]_t$ и $E[M]_t$ — true martingale.
Вычитаем $\frac{1}{2}\int F''(W_s)\,ds$ — остаётся $M_t = F(0) + \int_0^t F'(W_s)\,dW_s$. Это Itô-интеграл с адаптированным интегрантом $F'(W_s)$; при ограниченном $F'$ — local martingale (Theorem 3.5 notes).
Isometry: $E(\int H\,dW)^2 = E\int H^2\,ds$. Если $E[M]_t<\infty$, local martingale с ограниченной QV в среднем — square-integrable martingale. Шаблон повторяется для $W_t^2-t$, $e^{\sigma W_t-\frac{1}{2}\sigma^2 t}$.
Раскрываем $W_t=(W_t-W_s)+W_s$, используем независимость приращения. Нужно $as+2W_s^2+2(t-s)+a(t-s)=as+2W_s^2$ для всех $s<t$ ⇒ $2(t-s)+a(t-s)=0$ ⇒ $a=-2$. Альтернатива: $W_t^2-t$ — мартингал, значит $2W_t^2-2t$ тоже; добавляем $at$ с $a=-2$.
Сумма квадратов приращений BM сходится к $t$, не к 0. Отсюда: первая вариация BM на $[0,t]$ бесконечна — путь слишком «шероховатый» для классического Stieltjes. Это мотивация Itô-интеграла left-point.
Второе: для $s\le t$ внутренний интеграл на $(s,t]$ имеет нулевое условное ожидание при $\mathcal{F}_s$; остаётся $\mathrm{Var}(\int_0^s H\,dW)$. Шаги экзамена: martingale property $E(X_t\mid\mathcal{F}_s)=X_s$ для $s\le t$ или прямая isometry.
Классическая идентичность: $\int_0^t W_s\,dW_s = \frac{1}{2}(W_t^2-t)$ (Itô на $W^2$). Для $X^3$: $dX_t = 3X_t^2 W_t\,dW_t + 3X_t W_t^2\,dt$, $d[X]_t = W_t^2\,dt$. На midterm могут попросить только представить $X_t$ как Itô-процесс без полного $X^3$.
Задача. $dS_t = S_t\,dt + dW_t$, $S_0$ задано.
Умножаем на $e^{-t}$: $e^{-t}dS_t + S_t e^{-t}dt = e^{-t}dW_t$ ⇒ $d(e^{-t}S_t)=e^{-t}dW_t$. Интегрируем. Решение — Gaussian (линейная SDE). Шаблон: найти $\mu(t)$ с $d(\mu S)=\mu\,dW$.
Для continuous semimartingale $X$: экспонента Ито-Doléans. Частный случай: $\mathcal{E}(\sigma W)_t = \exp(\sigma W_t - \frac{1}{2}\sigma^2 t)$ — экспоненциальный мартингал. Связь с GBM и Girsanov density.
На устном / письменном midterm могут спросить шаги, не только вычисление: