← MathFin · Midterm · Final 2021 solutions · Наглядно
Final CTF I (50% оценки) из года в год держит одну структуру из 4 блоков: (1) Feynman–Kac, (2) свойства семимартингалов / единственность разложения, (3) Black–Scholes — цена экзотики (binary) и хедж, (4) volatility skew словами. Плюс вечные «почему $\mu$ не входит» и claim вида $h(S_T)=\ln S_T$. С 2025 экзамен closed-book, разрешён один лист шпаргалки. Ниже — карта по реальным papers и полные решения.
| Источник | Блок | Что просят |
|---|---|---|
| 2020 | Feynman–Kac | CIR $dX=\kappa(\theta-X)dt+\sigma\sqrt X\,dW$ → terminal value problem |
| 2020 | BS, дискуссия | Почему цена не зависит от $\mu$? Разумно ли для buy-and-hold? |
| 2020 | BS + binary | $h=\mathbf 1_{\{S_T\ge K\}}$: показать $u=N(d_2)$; delta-хедж + проблемы |
| 2021 | Feynman–Kac | Jacobi $dX=(\theta-X)dt+\sigma\sqrt{X(1-X)}dW$ → PDE |
| 2021 | Семимартингал | Единственность разложения $X=X_0+M+A$ |
| 2021 | BS + binary put | $h=\mathbf 1_{\{S_T\le K\}}$: цена + хедж |
| 2021 | Vol skew | Что такое skew, связь с недостатками BS |
| 2025 | Itô + FK | $Y=\sqrt S$ GBM + $[Y]$; OU integrating factor; решить PDE с $\mathbf 1_{\{x\le K\}}$ |
| 2025 | BS эмпирика | 2 плюса / 2 минуса BS; historical vs implied vol |
| 2025 | claim $\ln S_T$ | Цена, реплицирующая стратегия, Gamma |
Рабочая связь PDE ↔ ожидание. Общая форма (из final-preparation):
Алгоритм: сравни своё уравнение с общей формой, считай $\mu,\sigma,r,\Phi$ — и либо собери ожидание, либо (если дано ожидание) собери PDE. По Markov property смотрим из текущего $x$ на горизонт $T-t$.
$dX_t=\kappa(\theta-X_t)dt+\sigma\sqrt{X_t}\,dW_t$, $F(t,x)=E^x[\exp(-\int_0^{T-t}X_s\,ds)]$. Считываем: $\mu(x)=\kappa(\theta-x)$, $\sigma^2(x)=\sigma^2 x$, $r(x)=x$, $\Phi(x)=1$.
$dX_t=(\theta-X_t)dt+\sigma\sqrt{X_t(1-X_t)}\,dW_t$, $F(t,x)=E^x[\exp(-\int_0^{T-t}(\rho_0+\rho_1 X_s)\,ds)]$. Считываем: $\mu(x)=\theta-x$, $\sigma^2(x)=\sigma^2 x(1-x)$, $r(x)=\rho_0+\rho_1 x$, $\Phi=1$.
$f_t+\mu x f_x+\tfrac12\sigma^2 x^2 f_{xx}=0$, $f(T,x)=\mathbf 1_{\{x\le K\}}$. Здесь $r(x)=0$, $\Phi(x)=\mathbf 1_{\{x\le K\}}$, а из коэффициентов $\mu(x)=\mu x$, $\sigma(x)=\sigma x$ — это GBM: $dX=\mu X\,dt+\sigma X\,dW$, значит $X_{T-t}=x\,e^{(\mu-\frac12\sigma^2)(T-t)+\sigma W_{T-t}}$.
$\ln X_{T-t}=\ln x+(\mu-\tfrac12\sigma^2)\tau+\sigma\sqrt\tau Z$, $\tau=T-t$, $Z\sim N(0,1)$. Неравенство $X_{T-t}\le K$ ⇔ $Z\le d$, отсюда вероятность $\Phi(d)$.
Задача (3 pts). $X_t=X_0+M_t+A_t=X_0+\tilde M_t+\tilde A_t$, где $M,\tilde M$ — непрерывные локальные мартингалы, $A,\tilde A$ — процессы конечной вариации (FV). Показать $M=\tilde M$, $A=\tilde A$.
$N$ — одновременно непрерывный локальный мартингал (как разность двух) и процесс конечной вариации (как разность двух FV). Proposition 3.11 из конспекта: непрерывный локальный мартингал конечной вариации постоянен, поэтому $N_t=N_0=0$. Значит $M=\tilde M$, откуда $A=\tilde A$. Единственность доказана.
Под риск-нейтральной мерой $Q$: $dS=rS\,dt+\sigma S\,dW^Q$, поэтому $S_T=S\,e^{(r-\frac12\sigma^2)\tau+\sigma\sqrt\tau Z}$, $\tau=T-t$, $Z\sim N(0,1)$. Цена $V(t,S)=e^{-r\tau}E^Q[h(S_T)\mid S_t=S]$.
$S_T\ge K$ ⇔ $Z\ge -d_2$, а $Q(Z\ge -d_2)=\Phi(d_2)$. В sheet 2020 ответ записан как $u=N(d_2)$ — это риск-нейтральная вероятность; полная дисконтированная цена несёт множитель $e^{-r\tau}$.
Выплата разрывна в $K$. При приближении к экспирации дельта около страйка растёт без границы — для хеджа нужно мгновенно перекидывать огромные пакеты акций. На практике нереализуемо: транзакционные издержки, скачки цены, дискретный ребаланс ⇒ большой tracking error. Это и есть «обсудите проблемы реализации» (hint про $S\approx K$, малое $\tau$).
Что такое skew. Implied volatility считают, обращая формулу BS из наблюдаемых цен опционов. Если бы BS была верна, implied vol не зависела бы от страйка. На рынке же это функция от moneyness $M=K/S$: сильно убывает при $M<1$ (OOTM-путы), минимум около $M\approx1$, слегка растёт при $M>1$. Skew сильнее всего при малом $T-t$.
2025 Q2. Два плюса BS: замкнутая формула и единственный понятный параметр $\sigma$; полный рынок — опцион точно реплицируется (бенчмарк, общий язык). Два минуса: постоянная волатильность и гауссовость (нет тяжёлых хвостов, скачков), непрерывные пути и отсутствие трения. Historical vol — из прошлых доходностей (выборочное σ лог-доходностей, годовое). Implied vol — из текущих цен опционов обращением BS (взгляд вперёд).
Опцион оценивается репликацией: динамический delta-хедж делает портфель локально безрисковым, поэтому премия за риск акции (а с ней и $\mu$) выпадает из цены — остаются только $\sigma$ и $r$. Это разумно: цена = себестоимость сборки, а сборка не зависит от того, куда акция в среднем дрейфует. Для buy-and-hold инвестора независимость от $\mu$ не разумна: он не хеджирует, несёт реальный риск цены, и его ожидаемое богатство как раз определяется $\mu$. То есть утверждение про ценообразование/хедж, а не про ожидаемую доходность инвестора.
$F'=\tfrac12 s^{-1/2}$, $F''=-\tfrac14 s^{-3/2}$, $d[S]=\sigma^2 S^2\,dt$. Получили GBM.
$dX_t=-\gamma X_t\,dt+\kappa\,dW_t$, $X_0=x$. Множитель $e^{\gamma t}$ убивает линейный снос:
Интегрируем $0\to t$: $e^{\gamma t}X_t-x=\kappa\int_0^t e^{\gamma s}dW_s$.
Под $Q$: $\ln S_T=\ln S+(r-\tfrac12\sigma^2)(T-t)+\sigma W^Q$, и $E^Q[W^Q]=0$. При $t=0$: $V_0=e^{-rT}[\ln S_0+(r-\tfrac12\sigma^2)T]$.
$\phi$ — число акций (= delta), $\eta$ — позиция в money market account $B_t=e^{rt}$. Стратегия self-financing, т.к. $V$ решает BS PDE. Gamma отрицательна — продавец такого claim короткой выпуклости.