MathFin I — экзамен наглядно

← MathFin · Квиз · Конспекты · Файлы (PDF)

Карта экзамена: что реально спрашивают

Структура повторяется из года в год. Выучи паттерны — не отдельные задачи.

Midterm CTF I · фокус §2–§3

Три задачи, все про Itô и мартингалы (2020, 2021):

#	Задача
1	Показать, что $W_t$ — мартингал по $\mathcal{F}_t=\sigma(W_s,s\le t)$. → блок Brownian
2	Itô для $X_t=B_t^3$: семимартингальное разложение и $[X]_t$. → блок Itô
3	$M_t=F(W_t)-\tfrac12\int_0^t F''(W_s)ds$ — локальный мартингал; посчитать $[M]_t$ и $E[M]_t<\infty$. → блок Itô

Minitests добавляют: $\int W\,dW$, подбор $a$ для мартингала, линейные SDE, stochastic exponential, построение Itô-интеграла (2012).

Final CTF I · те же 4 блока каждый год

#	Задача
1	Feynman–Kac: вывести terminal value problem или решить PDE. 2020, 2021, 2025 → блок FK
2	Единственность семимартингального разложения. 2021 → ниже
3	BS + binary option: risk-neutral цена $N(d_2)$ + Δ-хедж. 2020, 2021 → блок Binary
4	Vol skew и недостатки BS (словами). 2021 → блок Skew

Плюс вечное: «почему $\mu$ не входит в цену» (2020) и claim $h(S_T)=\ln S_T$ (2025).

→ Полные решения финала (2020/2021/2025)

Блок 2 целиком: единственность разложения (решение 2021)

Пусть $X_t=X_0+M_t+A_t=X_0+\tilde M_t+\tilde A_t$ — два разложения. Тогда

$$N:=M-\tilde M=\tilde A-A$$

$N$ — одновременно непрерывный локальный мартингал (разность двух) и процесс конечной вариации (разность двух FV). Proposition 3.11 конспекта: такой процесс постоянен, $N_t=N_0=0$. Значит $M=\tilde M$ и $A=\tilde A$. Это весь ответ на 3 балла — выучи дословно.

1. Brownian motion: почему это мартингал

Midterm Q1 · §2

Вопрос: Show that $W_t$ is a martingale w.r.t. $\mathcal{F}_t=\sigma(W_s,s\le t)$.

Решение: $W_t=(W_t-W_s)+W_s$. Приращение $W_t-W_s$ независимо от $\mathcal{F}_s$ и $E(W_t-W_s)=0$, поэтому $E(W_t\mid\mathcal{F}_s)=W_s$. Мартингал = «нет систематического сноса».

Ниже — 60 траекторий выбранного процесса и их среднее (жирное). У мартингала среднее липнет к опорной линии. У «плохого» процесса — уходит.

Процесс σ0.8 траекторий60

отдельные путисреднее по ансамблюуровень мартингала

Ловушка: «$W_t\sim N(0,t)$» — это не доказательство мартингальности. Нужно условное ожидание $E(\cdot\mid\mathcal{F}_s)$, а не распределение.

2. Квадратичная вариация: $[W]_t=t$

§2 · фундамент всего Itô

Берём одну фиксированную траекторию на $[0,1]$. Дробим на $n$ кусков и считаем $\sum(\Delta W)^2$ (квадратичная вариация) и $\sum|\Delta W|$ (первая вариация).

$\sum(\Delta W)^2 \to t=1$уровень $t=1$

Квадратичная вариация сходится к $t=1$. А первая вариация (внизу в числах) растёт без предела — пути BM «бесконечно шероховаты». Поэтому классический интеграл не работает и нужен Itô.

Помни: снос (конечная вариация) при дроблении в квадрате исчезает ⇒ в $[X]$ входит только мартингальная часть.

3. Формула Itô: гладкая поправка к шумной части

Midterm Q2, Q3 · §3

Вопрос (Q2): Itô для $X_t=B_t^3$ — семимартингальное разложение и $[X]_t$.

$$dF(W_t)=\underbrace{F'(W_t)\,dW_t}_{\text{мартингал, шумно}}+\underbrace{\tfrac12 F''(W_t)\,dt}_{\text{снос, гладко}}$$

Выбери $F$. Синее — мартингальная часть $\int F'\,dW$ (шероховатая). Красное — поправка Itô $\tfrac12\int F''\,ds$ (гладкая, монотонная). Сумма (пунктир) точно ложится на $F(W_t)-F(0)$.

F(x)

∫F′dW (мартингал)½∫F″ds (снос)F(Wₜ)−F(0)сумма (проверка)

4. Дискретное время: CRR-дерево

§1 · биномиальная модель

Risk-neutral вероятность $q=\dfrac{(1+r)-d}{u-d}$ (нужно $d<1+r

u (рост)1.20 d (падение)0.90 r (ставка)0.05 K (strike)100 шагов N4

Сдвинь d выше 1+r: при $d\ge 1+r$ или $u\le 1+r$ модель допускает арбитраж, $q\notin(0,1)$ — индикатор станет красным.

5. Black–Scholes: цена и Delta

§4 · ядро финала

$C=S_0\Phi(d_1)-Ke^{-rT}\Phi(d_2)$, $d_1=\dfrac{\ln(S_0/K)+(r+\tfrac12\sigma^2)T}{\sigma\sqrt T}$, $d_2=d_1-\sigma\sqrt T$, $\Delta=\Phi(d_1)$.

K100 r0.03 σ0.20 T1.0 спот S₀100

цена call C(S)выплата (S−K)⁺Delta Φ(d₁)текущий S₀

Главный вопрос финала (2020 Q2): $\mu$ не входит в цену, потому что хедж делает портфель локально безрисковым — премия за риск акции исчезает, остаётся снос $r$ под $Q$. Для buy-and-hold инвестора $\mu$, конечно, важен — но он не хеджирует.

6. Binary option и почему Δ-хедж ломается

Final 2020 Q3, 2021 Q3

Вопрос: Binary put $h(S_T)=\mathbf 1_{\{S_T\le K\}}$. Risk-neutral цена и Δ-хедж. Обсудить проблемы вблизи $K$ при малом $T-t$.

Цена: $u(t,S)=e^{-r\tau}\Phi(-d_2)$ для put (для call-binary $\Phi(d_2)$), $\tau=T-t$, $d_2=\dfrac{\ln(S/K)+(r-\tfrac12\sigma^2)\tau}{\sigma\sqrt\tau}$.

Delta: $\dfrac{\partial u}{\partial S}=\pm\,e^{-r\tau}\dfrac{\varphi(d_2)}{S\sigma\sqrt\tau}$. При $\tau\to0$ возле $S=K$ это взрывается.

σ0.20 K100 r0.03

Delta call-binary для $\tau$:0.50.20.050.01

Ответ на «проблемы хеджа»: у digital выплата разрывна в $K$. При приближении к экспирации Delta около $K$ растёт до бесконечности — для хеджа нужно мгновенно покупать/продавать огромные пакеты акций. На практике невозможно: транзакционные издержки, скачки цены, дискретный ребаланс ⇒ большой tracking error.

7. Volatility skew и недостатки BS

Final 2021 Q4 (на словах)

Вопрос: Что такое implied volatility skew и как он связан с эмпирическими недостатками модели BS?

Implied vol считают, обращая формулу BS из рыночных цен опционов. Если бы BS была верна, implied vol была бы плоской по страйку. На деле — наклон вниз (skew): OOTM-путы (низкий $K$) дороже.

страх краха (крутизна skew)0.6

BS: плоская σрынок: skew

Почему так (ответ на финал): BS предполагает постоянную волатильность, нормальные лог-доходности, непрерывные пути (без скачков), идеальную ликвидность — в реальности ничего из этого полностью не выполняется. Большие падения куда вероятнее, чем в модели ⇒ огромный спрос на OOTM-путы как «страховку от краха». Продавцы неохотно их пишут (скачки, стох. волатильность, неликвидность дают большой tracking error). Высокий спрос + низкое предложение ⇒ высокая цена путов с малым $K$ ⇒ высокая implied vol. Skew сильнее всего при малом $T-t$.

8. Girsanov: мера гнёт снос, не дрожь

§5

Тот же шум $W$, два мира. Под $P$ снос $\mu$, под $Q$ снос $r$. Girsanov: $W_t^Q=W_t+\int_0^t\theta\,ds$, $\theta=\dfrac{\mu-r}{\sigma}$. Дрожь (приращения) и $[X]_t=\sigma^2 t$ — те же.

μ (под P)0.12 r (под Q)0.03 σ0.20

под P (снос μ)под Q (снос r)

Линии параллельно сдвинуты, но извиваются одинаково. Density process $\mathcal{E}(-\int\theta\,dW)$ — $P$-мартингал, $Q\sim P$.

9. Feynman–Kac: механика финала

Final 2020, 2021, 2025 — каждый год

Связь PDE ↔ ожидание. Общая форма:

$$\partial_t f+\mu(x)\,\partial_x f+\tfrac12\sigma^2(x)\,\partial_{xx}f=r(x)\,f,\qquad f(T,x)=\Phi(x)$$

$$\Longleftrightarrow\qquad f(t,x)=E^x\!\Big[e^{-\int_0^{T-t}r(X_s)\,ds}\,\Phi(X_{T-t})\Big],\quad dX=\mu(X)\,dt+\sigma(X)\,dW$$

Выбери реальную задачу с экзамена — увидишь, как считать с неё $\mu,\sigma,r,\Phi$ и собрать ответ. Это вся техника блока 1 финала.

Задача

Алгоритм: сравни своё уравнение с общей формой → выпиши $\mu(x),\sigma(x),r(x),\Phi(x)$ → подставь в ожидание (или, наоборот, прочитай из ожидания и собери PDE). Markov property: смотрим только из текущего $x$ на горизонт $T-t$.

10. Mean-reversion: динамика X из задач Feynman–Kac

Final 2020/2021/2025 Q1

В каждой FK-задаче дан процесс, который тянет к уровню $\theta$. OU (Vasicek): $dX=\kappa(\theta-X)\,dt+\sigma\,dW$ — может уходить в минус. CIR: $dX=\kappa(\theta-X)\,dt+\sigma\sqrt{X}\,dW$ — у нуля волатильность гаснет ($\sigma\sqrt X\to0$), процесс остаётся $\ge0$. Поэтому в финале 2020 под корнем стоит $\sqrt{X}$.

модель κ (скорость)2.0 θ (уровень)0.6 σ0.35 X₀0.1

траектории Xуровень θ

Чем больше $\kappa$, тем быстрее возврат к $\theta$ (период полураспада $\ln 2/\kappa$). Поставь CIR, σ побольше и X₀=0 — увидишь, что граница $0$ не пробивается.

Полные решения реальных задач

Модельные ответы на повторяющиеся вопросы — воспроизводи их дословно на экзамене.

Minitest · Itô-интеграл

Вычислить $\int_0^t W_s\,dW_s$.

Itô к $F(x)=x^2$: $d(W^2)=2W\,dW+dt$. Интегрируем $0\to t$:

$$W_t^2=2\int_0^t W_s\,dW_s+t$$

Ответ: $\displaystyle\int_0^t W_s\,dW_s=\tfrac12\big(W_t^2-t\big)$. Это мартингал.

Minitest 2015 · мартингал

При каком $a$ процесс $at+2W_t^2$ — мартингал?

$E(W_t^2\mid\mathcal F_s)=W_s^2+(t-s)$, значит

$$E(at+2W_t^2\mid\mathcal F_s)=as+2W_s^2+(a+2)(t-s)$$

Мартингал ⇔ снос ноль ⇔ $a+2=0$.

Ответ: $a=-2$. Эквивалентно: $2W_t^2-2t$ — мартингал.

Minitest 5 · линейная SDE

Решить $dS_t=S_t\,dt+dW_t$, $S_0$ дано.

Множитель $e^{-t}$: $d(e^{-t}S_t)=e^{-t}(dS_t-S_t\,dt)=e^{-t}\,dW_t$. Интегрируем:

$$e^{-t}S_t-S_0=\int_0^t e^{-s}\,dW_s$$

Ответ: $\displaystyle S_t=e^{t}S_0+e^{t}\!\int_0^t e^{-s}\,dW_s$.

Final 2025 Q1b · integrating factor

Решить $dX_t=-\gamma X_t\,dt+\kappa\,dW_t$ (OU).

Множитель $e^{\gamma t}$ убивает линейный снос:

$$d(e^{\gamma t}X_t)=e^{\gamma t}\kappa\,dW_t$$

Ответ: $\displaystyle X_t=e^{-\gamma t}x+\kappa\!\int_0^t e^{-\gamma(t-s)}\,dW_s$. Гауссовский, $\mathrm{Var}=\tfrac{\kappa^2}{2\gamma}(1-e^{-2\gamma t})$.

Final 2025 Q1a · Itô-замена

Показать, что $Y=\sqrt S$ — снова GBM, найти $[Y]_t$. Дано $dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dW$.

$F(s)=s^{1/2}$: $F'=\tfrac12 s^{-1/2}$, $F''=-\tfrac14 s^{-3/2}$, $d[S]=\sigma^2S^2dt$. Itô:

$$dY=Y\Big[\big(\tfrac12\mu-\tfrac18\sigma^2\big)dt+\tfrac12\sigma\,dW\Big]$$

Ответ: GBM с $\mu_Y=\tfrac12\mu-\tfrac18\sigma^2$, $\sigma_Y=\tfrac12\sigma$; $[Y]_t=\tfrac14\sigma^2\!\int_0^t S_s\,ds$.

Final 2020/2021 Q3 · binary option

Цена digital $h(S_T)=\mathbf 1_{\{S_T\ge K\}}$, $\tau=T-t$. Под $Q$: $dS=rS\,dt+\sigma S\,dW$.

$u=e^{-r\tau}E^Q[\mathbf 1_{\{S_T\ge K\}}]=e^{-r\tau}Q(S_T\ge K)$. С $\ln S_T=\ln S+(r-\tfrac12\sigma^2)\tau+\sigma\sqrt\tau Z$:

$$Q(S_T\ge K)=\Phi(d_2),\quad d_2=\frac{\ln(S/K)+(r-\tfrac12\sigma^2)\tau}{\sigma\sqrt\tau}$$

Ответ: $u(t,S)=e^{-r\tau}\Phi(d_2)$; $\Delta=\dfrac{\partial u}{\partial S}=e^{-r\tau}\dfrac{\varphi(d_2)}{S\sigma\sqrt\tau}\to\infty$ при $\tau\to0$, $S\approx K$.

2020 записывает ответ как $\Phi(d_2)$ — это риск-нейтральная вероятность; полная дисконтированная цена несёт множитель $e^{-r\tau}$.

Final 2025 Q3 · claim ln Sₜ

Цена claim $h(S_T)=\ln S_T$. Под $Q$: $E^Q[\ln S_T]=\ln S_0+(r-\tfrac12\sigma^2)T$.

$$V_0=e^{-rT}\big[\ln S_0+(r-\tfrac12\sigma^2)T\big]$$

$V(t,S)=e^{-r(T-t)}[\ln S+(r-\tfrac12\sigma^2)(T-t)]$, $V_S=e^{-r(T-t)}/S$.

Гамма: $\Gamma=V_{SS}=-\dfrac{e^{-r(T-t)}}{S^2}$. Хедж: $\phi=V_S$ акций, кэш $\eta=(V-\phi S)e^{-rt}$.

Final 2020 Q1 · Feynman–Kac

Дано $dX=\kappa(\theta-X)dt+\sigma\sqrt X\,dW$ и $F(t,x)=E^x[\exp(-\int_0^{T-t}X_s\,ds)]$. Считываем: $\mu=\kappa(\theta-x)$, $\sigma^2(x)=\sigma^2 x$, $r(x)=x$, $\Phi=1$.

Ответ (PDE): $\partial_t F+\kappa(\theta-x)\partial_x F+\tfrac12\sigma^2 x\,\partial_{xx}F=x\,F$, $F(T,x)=1$.

Minitest · stochastic exponential

Почему $\exp(\sigma W_t)$ — не мартингал, а с поправкой — да? Itô к $e^{\sigma x}$:

$$d e^{\sigma W}=\sigma e^{\sigma W}dW+\tfrac12\sigma^2 e^{\sigma W}dt$$

Снос убирается множителем $e^{-\frac12\sigma^2 t}$:

Ответ: $M_t=\exp(\sigma W_t-\tfrac12\sigma^2 t)$, $dM=\sigma M\,dW$ — мартингал. Это $\mathcal E(\sigma W)$ и плотность Girsanov.

2012 / Thm 3.5 · теория

Когда Itô-интеграл $\int_0^t H_s\,dW_s$ — мартингал?

Всегда — локальный мартингал. Истинный $L^2$-мартингал тогда и только тогда, когда

$$E\!\int_0^t H_s^2\,ds<\infty\quad(\text{Itô isometry конечна}).$$

Конструкция: простые предсказуемые step-процессы → isometry → предел в $L^2$. Left-point ⇒ нет lookahead.