На финале у тебя лист со всеми формулами. Значит зубрить нечего. Вся работа — узнать, какую строку листа взять и что в неё подставить. Ниже каждый пункт экзамена 10.6.2025 разобран ровно так: 📋 что берёшь со шпаргалки → что подставляешь → ответ.
Главный приём (работает на всём финале): почти всё на листе записано в общем виде через $\mu(x)$, $\sigma(x)$, $r(x)$, $\varphi(x)$. Твоя задача каждый раз одна: посмотреть на своё уравнение и сказать, чему здесь равны $\mu,\sigma,r,\varphi$. Дальше просто подставляешь в готовую строку.
Пункт
Балл
Какую строку шпаргалки берёшь
1a
3
«Itô's formula» + «[X]ₜ = ∫σ²ds»
1b
2
«Itô's product formula» (а ответ можно сверить со строкой «Ornstein–Uhlenbeck»)
1c
4
«Feynman–Kac» + «GBM» + «E(1_A)=P(A)»
2a
2
словами (формулы не нужны)
2b
2
словами + «Black–Scholes formula» как определение implied vol
3a
4
«GBM»-решение с дрейфом $r$ + дисконт $e^{-r(T-t)}$
3b
2
«V = Sϕ + Bη» + «Δ = ∂/∂S» + «BS PDE»
3c
1
«Γ = ∂²/∂S²»
Задача 1. Itô и Feynman–Kac (9 баллов)
1a — $Y=\sqrt S$ (3 балла)
Дано: $dS_t=\mu S_t\,dt+\sigma S_t\,dW_t$. Найти динамику $Y_t=\sqrt{S_t}$ и квадратичную вариацию $[Y]_t$.
📋 Берёшь строку «Itô's formula»: $F(X_t)=F(X_0)+\int F'(X_s)\,dX_s+\tfrac12\int F''(X_s)\,d[X]_s$. И строку про GBM: для $S$ диффузия равна $\sigma S$, значит $d[S]_t=(\sigma S)^2\,dt=\sigma^2S^2\,dt$.
Что подставить: функция тут $F(s)=\sqrt s=s^{1/2}$. Считаешь две её производные (это школа, не финансы): $F'=\tfrac12 s^{-1/2}$, $F''=-\tfrac14 s^{-3/2}$. Кладёшь их и $d[S]=\sigma^2S^2dt$ в формулу Itô:
Всё свернулось обратно к $Y$ (потому что $S^{1/2}=Y$) — это и значит «снова GBM». Параметры считались сами собой: дрейф $\tfrac12\mu-\tfrac18\sigma^2$, волатильность $\tfrac12\sigma$.
разбор по частям — откуда что взялось
$\tfrac12 S^{-1/2}$ — это $F'(S)$, производная корня. Правило степени: $(s^{1/2})'=\tfrac12 s^{1/2-1}=\tfrac12 s^{-1/2}$. Старая степень $\tfrac12$ спрыгивает вниз множителем, новая уменьшается на 1.
$(\mu S\,dt+\sigma S\,dW)$ — это $dS$, переписанное прямо из условия. Тут ничего не выводим, просто подставляем.
$-\tfrac18 S^{-3/2}$ — это $\tfrac12 F''(S)$. Сначала $F''=(\tfrac12 s^{-1/2})'=-\tfrac14 s^{-3/2}$; затем во втором члене Itô стоит ещё $\tfrac12$, и $\tfrac12\cdot(-\tfrac14)=-\tfrac18$.
$\sigma^2 S^2\,dt$ — это $d[S]_t$, квадратичная вариация $S$. Правило простое: берёшь множитель при $dW$ (здесь $\sigma S$) и возводишь в квадрат → $\sigma^2 S^2$. Член с $dt$ в $[S]$ не вносит вклада.
$\tfrac18 S^{-3/2}\sigma^2 S^2\,dt=\tfrac18\sigma^2 S^{1/2}\,dt$ — это и есть тот «страшный» кусок целиком: просто $\tfrac12 F''\cdot d[S]$, перемноженное. Степени $S$ складываются: $-\tfrac32+2=\tfrac12$, поэтому остаётся $S^{1/2}=Y$.
Теперь $[Y]_t$: на шпаргалке $[X]_t=\int(\text{коэффициент при }dW)^2\,ds$. У $Y$ перед $dW$ стоит $\tfrac12\sigma Y_s$. Возводишь в квадрат, интегрируешь:
Ответ: $\ [Y]_t=\displaystyle\int_0^t\!\big(\tfrac12\sigma Y_s\big)^2ds=\tfrac14\sigma^2\!\int_0^t Y_s^2\,ds=\tfrac14\sigma^2\!\int_0^t S_s\,ds$ (так как $Y_s^2=S_s$).
Что важно понять, а не запомнить: в формуле $[X]_t$ возводишь в квадрат именно то, что умножается на $dW$ — больше ничего. Член с $dt$ в квадратичную вариацию не входит вообще.
━ $S_t$ и ━ $Y_t=\sqrt{S_t}$: оба — GBM. У $Y$ волатильность вдвое меньше ($\sigma_Y=\tfrac12\sigma$), поэтому зелёная линия колышется спокойнее. Подвигай σ — увидишь, как обе реагируют.
1b — процесс OU (2 балла)
Дано: $dX_t=-\gamma X_t\,dt+\kappa\,dW_t$, $X_0=x$. Получить SDE для $Y_t=e^{\gamma t}X_t$ и заключить, что $Y_t=x+\kappa\int_0^t e^{\gamma s}\,dW_s$.
📋 Берёшь «Itô's product formula»: $d(X_tY_t)=X_s\,dY_s+Y_s\,dX_s+d[X,Y]_t$. Здесь второй множитель — гладкая функция времени $e^{\gamma t}$ (без $dW$), поэтому ковариация $[\,\cdot\,]=0$.
Что подставить: перемножаешь $e^{\gamma t}$ (его «дифференциал» $\gamma e^{\gamma t}dt$) и $X_t$ (его $dX_t$ из условия):
Два сноса с $\gamma$ сокращаются — ради этого и брали множитель $e^{\gamma t}$. Остаётся чистый $dW$. Интегрируешь от $0$ до $t$ (помня $Y_0=x$) и получаешь то, что просили.
разбор по частям
$\gamma e^{\gamma t}X_t\,dt$ — это $X\cdot d(e^{\gamma t})$. Производная $e^{\gamma t}$ по времени равна $\gamma e^{\gamma t}$ (показатель $\gamma$ выходит множителем) — то же правило, что для обычной экспоненты.
$e^{\gamma t}\big(-\gamma X_t\,dt+\kappa\,dW_t\big)$ — это $e^{\gamma t}\cdot dX$: множитель $e^{\gamma t}$ просто умножает $dX$ из условия. Член $d[X,Y]$ отсутствует, потому что $e^{\gamma t}$ — гладкая функция без $dW$.
$+\gamma e^{\gamma t}X-\gamma e^{\gamma t}X=0$ — два сноса гасят друг друга. Именно под это и подбирали $e^{\gamma t}$: чтобы уничтожить снос $-\gamma X$ и оставить только $\kappa\,dW$.
Ответ: $\ Y_t=x+\kappa\displaystyle\int_0^t e^{\gamma s}dW_s$, а сам $X_t=e^{-\gamma t}Y_t=e^{-\gamma t}x+\kappa\displaystyle\int_0^t e^{-\gamma(t-s)}dW_s$ (возврат к нулю).
📋 Можно вообще не выводить: на листе есть готовая строка «Ornstein–Uhlenbeck» с $\mu=\kappa(\theta-X)$. Сопоставь: у тебя $\theta=0$, скорость возврата $=\gamma$, шум $=\kappa$, старт $\bar r=x$ — подставь в готовое решение и сразу получишь тот же ответ. Но раз в условии просят «через product formula», вывод выше и есть требуемое.
Понять: множитель $e^{\gamma t}$ — это приём «убить линейный снос», как интегрирующий множитель в обычном дифуре. Любой снос вида $-\gamma X\,dt$ снимается так же.
Серые — случайные траектории $X_t$, ━ среднее $x\,e^{-\gamma t}$, пунктир — коридор $\pm1.96\,\mathrm{sd}$. Больше γ — быстрее возврат к нулю и уже коридор; больше κ — шире разброс. Предельный разброс $\kappa/\sqrt{2\gamma}$.
1c — Feynman–Kac с выплатой $\mathbf 1_{\{x\le K\}}$ (4 балла)
Дано: $f_t+\mu x f_x+\tfrac12\sigma^2 x^2 f_{xx}=0$, $f(T,x)=\mathbf 1_{\{x\le K\}}$. Решить.
📋 Берёшь «Feynman–Kac»: $f_t+\mu(x)f_x+\tfrac12\sigma^2(x)f_{xx}=r(x)f,\ f(T,x)=\varphi(x)$ ⇔ $f(t,x)=E^x\big[e^{-\int_0^{T-t}r(X_s)ds}\,\varphi(X_{T-t})\big]$, где $dX=\mu(X)dt+\sigma(X)dW$.
Что подставить — просто сравни два уравнения построчно: $\mu(x)=\mu x$, $\sigma(x)=\sigma x$ (значит $X$ — это GBM со строки «GBM»), дисконта нет $r(x)=0$, выплата $\varphi(x)=\mathbf 1_{\{x\le K\}}$. Подставляешь в правую часть FK:
$\tau=T-t$, $Z\sim N(0,1)$. Решение GBM взято прямо со шпаргалки (строка «Geometric Brownian motion»). Ожидание индикатора — это вероятность (тоже строка с листа: $E(1_A)=P(A)$).
разбор по частям — из чего собран $X_{T-t}$ и порог $d$
$x$ — стартовая точка: текущее значение процесса. По Markov смотрим вперёд из $x$ на горизонт $\tau$.
$(\mu-\tfrac12\sigma^2)\tau$ — снос логарифма за время $\tau$. Член $-\tfrac12\sigma^2$ — поправка Itô: логарифм вогнут, поэтому средний рост лога меньше $\mu$ ровно на половину дисперсии (тот самый «volatility drag»).
$\sigma\sqrt\tau\,Z$ — случайный разброс. $W_{T-t}$ нормально с дисперсией $\tau$, значит $W_{T-t}=\sqrt\tau\,Z$ — отсюда $\sqrt\tau$, а не $\tau$.
Проверь (это бесплатные баллы): при $t\to T$ срок $\tau\to0$. Если $xK$ → $\Phi=0$. Получилось ровно $\mathbf 1_{\{x\le K\}}$ — значит решение верное. По смыслу $f$ — цифровой пут: «шанс оказаться ниже $K$».
$f(x)=\Phi(d)$ из 1c (страйк $K=1$, красный пунктир). Тяни срок τ к нулю — кривая на глазах превращается в ступеньку $\mathbf 1_{\{x\le K\}}$: это и есть терминальное условие, проявляющееся вживую.
Задача 2. Black–Scholes словами (4 балла)
Формул тут не подставляешь — нужно сказать своими словами. Коротко и по делу:
2a — два плюса и два минуса (2 балла)
Плюсы: ① замкнутая формула с одним наблюдаемым параметром $\sigma$ — быстро, все Greeks аналитически, стала общим языком рынка; ② рынок полный — опцион точно реплицируется хеджем, цена однозначна (надёжный benchmark).
Минусы: ① волатильность на самом деле не постоянна (отсюда skew/smile, чего в модели быть не должно); ② лог-доходности не гауссовы и пути не непрерывны — нет скачков и крахов, хвосты слишком тонкие; плюс идеализации (бесплатная непрерывная торговля, нет издержек).
2b — historical vs implied vol (2 балла)
Historical: из прошлых данных — стандартное отклонение лог-доходностей, annualized ($\hat\sigma=s\sqrt{252}$ для дневных). Взгляд назад, без опционов.
Implied: из текущих цен опционов — такая $\sigma$, что формула BS со шпаргалки даёт рыночную цену ($\mathrm{BS}(\sigma)=C_{\text{market}}$). Решение единственно, т.к. цена растёт по $\sigma$ (vega $>0$). Взгляд вперёд; меняется по страйкам — это и есть skew.
Задача 3. Claim с выплатой $\ln S_T$ (7 баллов)
📋 Общий приём для цены любого claim: цена $=$ дисконт $\times$ ожидание выплаты под риск-нейтральной мерой. То есть берёшь строку «GBM» со шпаргалки, меняешь дрейф $\mu$ на ставку $r$, считаешь ожидание $E^Q[h(S_T)]$ и умножаешь на $e^{-r(T-t)}$.
3a — цена (4 балла)
Что подставить: со строки GBM при дрейфе $r$: $\ln S_T=\ln S+(r-\tfrac12\sigma^2)(T-t)+\sigma(W^Q_T-W^Q_t)$. Выплата $h(S_T)=\ln S_T$. Берёшь ожидание (последний член в среднем $0$) и дисконтируешь:
Единственное «новое» — заметить, что под $Q$ ожидаемый лог растёт на $r-\tfrac12\sigma^2$, а не на $r$. Эта $-\tfrac12\sigma^2$ — поправка из решения GBM на листе (она там прямо в показателе экспоненты).
разбор по частям
$e^{-r(T-t)}$ — дисконт-множитель. Деньги, которые получишь через время $T-t$, сегодня стоят меньше; чтобы привести будущее к настоящему, умножаем на $e^{-r\cdot\text{срок}}$.
$\ln S$ — текущий логарифм цены. В момент $t$ он известен (не случаен), поэтому выходит из ожидания как есть.
$(r-\tfrac12\sigma^2)(T-t)$ — ожидаемый прирост лога. Дрейф здесь $r$, а не $\mu$, потому что считаем под риск-нейтральной $Q$; $-\tfrac12\sigma^2$ — та же поправка Itô.
(пропал $\sigma W^Q$) — случайный член из $\ln S_T$ исчез под ожиданием: $E^Q[W^Q]=0$. Остаётся только детерминированная часть.
📋 Берёшь со шпаргалки: портфель $V=S\varphi+B\eta$ (акции + денежный счёт $B_t=e^{rt}$); число акций — это дельта, $\varphi=\partial V/\partial S$; самофинансируемость гарантирована, если $V$ решает «BS PDE».
Что подставить: дифференцируешь цену из 3a по $S$ → получаешь $\varphi$. Потом из $V=S\varphi+B\eta$ выражаешь $\eta=(V-S\varphi)/B$:
$\varphi_t S_t=e^{-r(T-t)}$, вычитаешь из $V_t$, делишь на $B_t=e^{rt}$. Что стратегия self-financing — потому что эта $V$ удовлетворяет BS PDE с листа (подставь и убедись: всё сходится к $rV$).
разбор по частям
$\varphi_t=\dfrac{\partial V}{\partial S}=\dfrac{e^{-r(T-t)}}{S}$ — число акций (это и есть delta). Дифференцируем цену по $S$: производная $\ln S$ равна $1/S$, дисконт $e^{-r(T-t)}$ от $S$ не зависит и остаётся множителем.
$V_t-\varphi_t S_t$ — сколько стоимости портфеля приходится не на акции. Из полной цены $V$ вычитаем стоимость акций $\varphi_t S_t=e^{-r(T-t)}$.
$\div\,B_t=e^{rt}$ — делим на цену одной облигации, чтобы из «суммы денег» получить «число единиц» $\eta$. Сокращение: $e^{-rt}\cdot e^{-r(T-t)}=e^{-rT}$.
$-1$ — это след от вычитания акций: $\varphi_t S_t=e^{-r(T-t)}$ после деления на $B_t$ и вынесения $e^{-rT}$ превращается ровно в $-1$ внутри скобки.
3c — Gamma (1 балл)
📋 Со шпаргалки: $\Gamma=\partial^2 V/\partial S^2$. Просто дифференцируешь $\varphi=e^{-r(T-t)}/S$ ещё раз по $S$.
━ выплата $\ln S$ и ━ цена $V(t,S)$. Обе вогнуты — отсюда $\Gamma<0$. Подними σ — цена опускается (поправка $-\tfrac12\sigma^2\tau$); подними r или τ — дисконт и снос сдвигают кривую.
Весь финал 2025 одной мыслью: на листе всё есть — задача только опознать $\mu,\sigma,r,\varphi$ и подставить. 1a — формула Itô к $F=\sqrt s$, в $[Y]$ квадрат берёшь только у множителя при $dW$. 1b — product formula с $e^{\gamma t}$ убивает снос. 1c — Feynman–Kac превращает PDE в ожидание, а $E(1_A)=P(A)$ и GBM-решение дают $\Phi(d)$. 2 — словами. 3 — GBM с дрейфом $r$ под $Q$, дисконт; хедж $\varphi=\partial V/\partial S$, $\eta$ из $V=S\varphi+B\eta$; $\Gamma=\partial^2V/\partial S^2$.